グラム行列、三角形の面積

質問

A(1,0,1),B(2,2,0),C(2,2,-1)を頂点とする三角形ABCの面積Sを求めよという問題ですが解説お願いします。

解答によればベクトルAB×ベクトルAC=(-2,1,0)よりS=|ベクトルAB×ベクトルAC|=√5/2

別解
グラム行列式|G|=6×9-7×7=5よりS=(1/2)√|G|=√5/2

となっていますがベクトルの掛け算を忘れたせいか全く分かりません。

よろしくおねがいします。

回答No.1

tomokoich · ベストアンサー

→AB=(2-1,2-0,0-1)=(1,2,-1) Bのx,y,z座標からAのx,y,z座標を引きます　　
→AC=(2-1,2-0,-1-1)=(1,2,-2) 同じくCからAを引きます
になります
｜→AB｜^2=(1,2,-1)×(1,2,-1)=1×1+2×2+(-1)×(-1)=1+4+1=6
｜→AC｜^2=(1,2,-2)×(1,2,-2)=1×1+2×2+(-2)×(-2)=1+4+4=9
(→AB)(→AC)=(1,2,-1)×(1,2,-2)=1×1+2×2+(-1)×(-2)=1+4+2=7
なので
｜G｜=｜→AB｜×｜→AC｜-(→AB×→AC)^2
より=6×9-7×7=5

になります

お礼

ありがとうございます。
引き算でしたか、ベクトルで一番最初にやるところなのに忘れてたみたいです。
とても悩んでたので大変助かりました。