高校入試・規則性の問題

質問

下の図のnを求めよという問題があり、よくわかりませんでした。

同じ個数ずつ増えていく問題は解けるのですが、下のように「番目」が1増えるにつれ、個数が１０→１４→１８などとふえていく問題は分かりません。

どのように解けばよいのでしょうか。（一から足していく以外で）

お願いします。

回答No.2

nag0720 · ベストアンサー

個数が10,14,18と増えているので、
k番目の個数をA[k]とすると、
A[1]=7
A[k+1]=A[k]+4k+6　（k≧1）
と表すことができます。

A[1]=7
A[2]=A[1]+4×1+6
A[3]=A[2]+4×2+6
A[4]=A[3]+4×3+6
・・・・
A[n-1]=A[n-2]+4(n-2)+6
A[n]=A[n-1]+4(n-1)+6

これらの左辺どうし右辺どうしを足すと、A[1],A[2],・・・,A[n-1]が消えて、

A[n]=7+(4×1+6)+(4×2+6)+(4×3+6)+・・・+{4×(n-2)+6}+{4×(n-1)+6}
=7+4{1+2+3+・・・+(n-1)}+6(n-1)
=7+2n(n-1)+6(n-1)
=2n^2+4n+1

これが、161になるためには、
2n^2+4n+1=161
2n^2+4n-160=0
n^2+2n-80=0
(n-8)(n+10)=0

nは正なので、n=8

＃１さんの答えと違いますが、これは規則性をどのように設定するかによって違ってくるので、どちらも正しいと言えます。

別の規則を見つければ、n=7とかn=9でも正解になるかもしれません。

お礼

なるほど。ありがとうございます

回答No.1

ShimoHayha

下のような規則性がありますね

３番目（３１）
＝ ひとつ前の数＋（２つ前の数x ２）
＝１７ ＋ （７ ｘ ２）

４番目（４９）
＝ ひとつ前の数 ＋ （２つ前の数 ＋ １）
＝ ３１ ＋ １７ ＋ １

と、考えると、
奇数番号 ＝ ひとつ前の数＋（２つ前の数x ２）
偶数番号 ＝ ひとつ前の数 ＋ （２つ前の数 ＋ １）
と、計算できると予想できます。

これを元に、５番目を計算してみると
５番目（奇数番号）
＝ ４番目の数 ＋ （３番目の数 x ２）
＝ ４９ ＋ （３１ ｘ ２）
＝ １１１

６番目（偶数番号）
＝ ５番目の数 ＋ （４番目の数 ＋ １）
＝ １１１ ＋ （４９ ＋ １）
＝ １１１ ＋ ５０
＝ １６１

・・・となるので、n は「６」だということがわかります。

お礼

ありがとうございます＾＾