複雑な期待値

質問

ルーレットでストリートベッド(123等3つの数字を1つにかける)をすると当たる確率は37/3=12.33です。当たると払い戻しは12$です。　

まず1$をストリートベッドします。　
11回目までに当たらなければ、12回目から17回目まで2$ドルかけます。　
こうする事によって当たれば必ずプラスになるからです。
当たれば最初の1$からやり直しです。

ここで聞きたいのは、このやり方で期待値はプラスになるのでしょうか？

ちなみに、17回目も当たらなかった場合は、最初の1$からやり直しです。

確率、期待値に詳しい方計算していただきたいです。

回答No.4

WiredLogic

実際手で計算できるように、

・ストリートベットでなく、小(1-12)に賭ける
・控除分(0,00,000)で、親の総取りになる分はないとする
　(※ No.2さんの指摘ですが、000まであるのは、確か、
　中米かどっかでやってる奴で、アメリカでは00まで)

こうすると、１回で当る確率が(1/3)、オッズが３倍なので、
完全に公平な賭けになります。その上で、１～２回めには、
１ドルを賭け、３回めに２ドルを賭けるセットを考えます。

１回目に当る確率は、1/3、１ドル賭けて、払い戻しが、
３ドルなので、儲けは、２ドルなので、
この回での儲けの期待値は、2×(1/3)で、2/3ドル、

ちなみに、ハズレの確率は、2/3で、失うのは１ドル、
よって、損の期待値は、1×(2/3)で、2/3ドル、なので、
この回で打ち切った場合の、儲けの期待値は、±0。

１回目で外れ、２回目で当る確率は、(2/3)×(1/3)、
通算２ドルかけて、払い戻しが３ドルで、儲けは１ドル、
よって、この回での儲けの期待値は、
1×(2/3)×(1/3)で、2/9ドル、よって、
２回目までの儲けの期待値の通算は、2/3 + 2/9 = 8/9ドル、

ちなみに、２回続けて外れる確率は、(2/3)×(2/3)=4/9、
失うのは２ドルなので、損の期待値は、2×(4/9)=8/9ドル
で、やはり、ここで打ち切った場合の儲けの期待値は±0。

１・２回と外れ、３回目で当てる確率は、(2/3)×(2/3)×(1/3)、
この回は賭けるのが２ドルなので、通算４ドル賭けて、
払い戻しが、６ドルなので、儲けは２ドル、よって、この回での
儲けの期待値は、2×(2/3)×(2/3)×(1/3) = 8/27ドル、よって、
３回目までの儲けの期待値の通算は、8/9+8/27=32/27ドル、

ちなみに、３回続けて外れる確率は、(2/3)×(2/3)×(2/3)=8/27、
通算で、４ドルの損なので、損の期待値は、4*(8/27)=32/27ドル、
つまり、セット全体での儲けの期待値は、±0。

(ツッコマれる前に、書いておくと、数学的には、期待値は、トータル
で考えるものなので、この回での儲けの期待値などというのは、正確
な表現ではありません。そこらへんが解る人は、トータルの期待値の
中での、その回の儲けの寄与分、とでも、読み直してください)

このへんで、もう解ってこられたのではないかと思いますが、
公平な賭けであれば、どの時点で打ち切っても、期待値は、±0、

ストリートベットにせよ、１点賭けにせよ、数値は変わっても、
本質は変わらず、毎回の期待値は±0、したがって、どんなセット
を考えて実行しても、トータルの期待値も±0になります。

１回目に１ドル、外れたら、２回目は２ドル、３回目は４ドルと、
倍々になるように、確率(1/2)の黒赤などに、賭けて行き、当れば、
また、１ドルからやり直し、これだと、ほとんどのセットでは
１ドル儲かって終わりですが、たまに、カジノの終了時間や、
持ち金がなくなる(回数増えるととんでもない金額になりますし)
などで、大金を失うことがあるので、やはり期待値は、計算しても
(というよりするまでもなく)±0。

まして、実際のルーレットには、0,00,000などの控除分があり、
公平な賭けより、わずかとは言え、当る確率が低い訳ですから、
１回の賭けでの期待値は基本マイナス。どんなセットを考えても
プラスに転じることはありません。