y´´-y=0の解法とは？
- y´´-y=0の解法について、複数の方法を試してみました。
- 特性方程式を使って解いた場合、虚数解が得られました。
- 変数分離を試した場合、うまくy´´+y=0の形になりませんでした。
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y´´-y=0を複数の解法で解いてみました
y´´+y=0を複数の解法で解いてみます。 多分、後者が間違っていますので、ご指導下さい。お手数をおかけします。 特性方程式より考えると、t^2+1=0 t^2=-1よりt=±i tが虚数解なので、t=p±qiのとき、一般解はe^(px){C1sin(qx)+C2cos(qx)}になるという公式<※C1,C2は積分定数> （参照http://www.ss.u-tokai.ac.jp/~ooya/Jugyou/Old/4KHouteishiki/houteisiki18.pdf 大矢教授のHPより) にあてはめて、t=0±1iと考え、y=e^0(C1sinx+C2cosx) y=C1sinx+C2cosx 確かにy´´+yに代入すると0になりそうです。 変数分離で考えると、y´´=-yより、1/y・y´´=-1 logy・y´=-x+C ※Cは積分定数 ylogy-y=-x^2/2+xC y=ylogy+x^2/2+xC 何かy´´+y=0にならない気がします。そもそも変数分離は２階微分の方程式で使えるのでしょうか？
- izayoi168
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∫{ 1/y・y´´ }dy = logy・y´ としているのが、間違い。 「積の微分法」について、高校の教科書を読み返せば、 (d/dy){ logy・y´ } = 1/y・y´´ とはならないことが 解るはずです。 初等的に解きたいのなら、y´´ + y = 0 から (y´)(y´´) + (y)(y´) = 0 と変形すれば よかったのに。 前半は合っていますが、参照先の「公式」を公式として 暗記するのは、流石にお子様すぎる気がします。 重根がなければ、(積分定数)・e^( (特性方程式の解)・(変数) ) の和が一般解である ことを公式として、 後は、e^(iθ) = (cos θ) + i(sin θ) から 件の「公式」を導いたほうがよいでしょう。
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- Tacosan
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1/y・y´´ は y''/y だよね. これを (y で) 積分して log y ・ y' になる? 言い替えると, log y ・ y' を微分すると y''/y になる? f(y) dy = g(x) dx の形なら「変数分離」なんだけど, y''/y はこの形 (の左辺) になってないよね.
お礼
先日に続き、的確なご指摘ありがとう御座います。 Tacosanさんとalice_44さんの書き込みを元に再考させていただきます。
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