微分方程式

質問

薬剤を単位時間にuの割合で静脈内に連続投与するとき、血液中の薬物量yの単位時間あたりの変化は連続投与による供給分uから現在量に比例する排出 分ay（0<a<1）を引いたものであり、以下の微分方程式で表される。
dy/dt=u-ay

（1）なぜ、血液中の薬物量yの単位時間あたりの変化はdy/dt=u-ayと表わされるのでしょうか。
（2）t=0のとき、y=bを満たす特殊解を求めよ。ただし、bは非負の定数とする。
（3）tが十分大のとき、血液中の薬物量の単位時間あたりの変化dy/dtはどのように振る舞うか、簡潔に述べよ。

（2）（3）がわかりません。お願いします。

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

(1)dy/dt=u-ay (1)
これはyの時間変化(スピード)を表していることに留意してください。たとえばグラム/秒のような量です。
連続投与による供給分uもスピードです。
-ayは減少のスピードです。従ってaは（1/秒）の単位を持っています。排出の時定数と呼びます。
u,aは定数です。
(2)要は微分方程式(1)を解けということです。z=u-ayとおくと
y=(u-z)/a
(1)は
dy/dt=-(1/a)dz/dt=z
変数分離ができて
dz/z=-adt
積分して
log(z)=c-at(cは積分定数）
z=Cexp(-at) (C=e^cで定数）
z=u-ayを用いてyの式に書き直すと
y=(u-Cexp(-at))/a　　　(2)

初期条件t=0でy=bを代入して整理すると
C=u-ab
u,a,bは定数なのでCは定数
Cを(2)へ代入し整理すると
y=(1-exp(-at))u/a-bexp(-at) (3)

(3)
t→∞とするとexp(-at)→0
この時
y=u/a
つまり単位時間にuの割合で静脈内に連続投与する薬剤の量uを排出の時定数aで割った値となる。これは式(1)においてdy/dt→0として求められ、t→∞のときdy/dt→0となることを意味する。

お礼

ありがとうございます。とても参考になります。
（1）はdy/dt=u-yでもいいのかと思ったのですが、それでは単位時間当たりにならないので、-ayにするのですね？

＞z=Cexp(-at) (C=e^cで定数）

＞y=(1-exp(-at))u/a-bexp(-at) (3)

のCexpやexpやbexpとはどういう意味でしょうか。

回答No.3

spring135

No.2です。

＞（1）はdy/dt=u-yでもいいのかと思ったのですが、それでは単位時間当たりにならないので、-ayにするのですね？

そうです。いつも次元に気をつけてtください。

＞z=Cexp(-at) (C=e^cで定数）

＞y=(1-exp(-at))u/a-bexp(-at) (3)

のCexpやexpやbexpとはどういう意味でしょうか。

指数関数です。自然対数の底eを用いて

exp(x)=e^x

で定義されます。指数関数については数学のテキストを見直してください。

http://ab.sinryow.net/lesson/shisu.html

お礼

なるほど！ありがとうございます。
とても参考になりました。

回答No.1

okormazd

(1)
問題に、
「薬物量yの単位時間あたりの変化は連続投与による供給分uから現在量に比例する排出 分ay（0<a<1）を引いたもの」
とあり、これをそのまま式に表わしたものでしょう。
「薬物量yの単位時間あたりの変化」を式で書けば、dy/dt
「供給分uから現在量に比例する排出 分ay（0<a<1）を引いた」を式で書けば、u-ay
「のであり」だから、
dy/dt=u-ay
(2)
t=0は、まだ投与していない時刻で、これからまさに投与しようというときだから、薬剤はまだ血中にないだろう。だから、
y=0
(3)
「tが十分大のとき」
uは一定なのだろうから、一定割合で薬剤を注入していけば、それにつれてyが大きくなる。yが大きくなればそれに比例した排出量ayも大きくなってそのうちにuと等しくなってしまうのではないか。そうなるとu-y=0になるので、dy/dt=0になるように考えられるんだが。

どこか間違っているかな、とにかく自分で考えてみて。

お礼

ありがとうございます。
とても助かりました。