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質問

(a^2+b^2)(x^2+y^2)≧(ax+by)^2 が証明されています。

　x^2+y^2=4　のとき,5x+2y の最大値を求めよ。

等号成立も含めてどなたか回答お願いします。

回答No.2

tmpname · ベストアンサー

この問題が「問題」なのは、与えられた不等式が成立することは
証明なしに使っていいと言っているのはいいのですが、では
「どんな時に等号が成立するのか」について一切言っていないので、
実際に等号が成立するかは別に調べてみないと分からない
点にあります。
（例えば左辺を2倍して
　2(a^2+b^2)(x^2+y^2)≧(ax+by)^2
としてもこの不等式はもちろん成立しますが、等号は
　(a,b)=(0,0)若しくは(x,y)=(0,0)の時にしか
　成立しません）

で、与えられた不等式で、a=5, b=2, x^2+y^2=4とおいて、
29*4 ≧ (5x+2y)^2 -> 5x+2y ≦ 2√29
はいいのですが、本当に5x+2y=2√29を満たす(x,y)があるのかは
これだけでは分かりません。
　（さっきの「2倍した」不等式で考えると、5x+2y ≦ 2√58という
　　結果が得られ、これ自体は正しいのですが、5x+2y = 2√58
を満たす(x,y)はありません）

では本当にあるのかをどうやって調べるのかは、
A. x^2 + y^2 = 4, 5x+2y=2√29 の連立方程式を解く
B. 与えられた不等式で等号が成立する条件を
　結局自分で調べる
しかありません。Aについては頑張れば出来るので、
ここでは Bについて考えると、

(a^2+b^2)(x^2+y^2)-(ax+by)^2 = (ay-bx)^2 （自分で計算して
確認してください）より、確かに
(a^2+b^2)(x^2+y^2)≧(ax+by)^2で、等号はay-bx=0の時
成立することが分かります。

そこで、5x+2y=2√29, 5y-2x=0を同時に満たす(x,y)が存在するか
を考えてみると、(x,y)=(10/√29, 4/√29)が確かにこれを
満たすことが分かり、5x+2yが「本当に」最大値2√29を
とるが分かります。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

spring135

a=5, b=2とするとx^2+y^2=4なので

(a^2+b^2)(x^2+y^2)≧(ax+by)^2

は

(25+4)×4≧(5x+2y)^2

これより

-2√29≦5x+2y≦2√29

最大値は2√29

お礼

ありがとうございました。