ちょっとした数学の疑問(式変形・相加相乗)

質問

１
(a+b)(x+y)+(b+c)(y+z)+(c+a)(z+x)=(a+b+c)(x+y+z)+(ax+by+cz)この式変形の過程を教えてください。

２
(x+2)(16/x+2)≧2√{(x+2)*(16/x+2)}=8において

等号はx+2=16/x+2=8/2=4のとき成立。8/2はどこから出てきたのでしょうか。

回答No.2

fukuda-h · ベストアンサー

１．等式の証明ならば目標とする式をよく見て
a+b+c＝A　x+y+z＝Bとおくと
左辺＝(A-c)(B-z)+(A-a)(B-x)+(A-b)(B-y)
＝３AB-A(x+y+z)-B(a+b+c)+(ax+by+cz)
とする方法もあります

回答No.1

may0430

１）x,y,zを含む項はそのままで、a,b,cについて展開する
左辺＝a(x+y)+b(x+y) + b(y+z)+c(y+z) + c(z+x)+a(z+x)　…※
　a,b,cについてまとめると、
　　＝a(2x+y+z) + b(x+2y+z) + c(x+y+2z)
　　＝a{(x+y+z)+x} + b{(x+y+z)+y} + c{(x+y+z)+z}
　　＝右辺
（※の段階で下記のように列挙すると、分かりやすいかも、です）
　　a(x+y)
　　b(x+y)
　　b(y+z)
　　c(y+z)
　　c(z+x)
　　a(z+x)

２）質問の式が正確に把握できませんが、、、
相加相乗平均の定理にあてはめて、
　　a＝x+2
　　b＝16/x+2
とすると、a=bの時に等号が成り立つので、あとは方程式を解けばよいかと…