剛体の運動

質問

半径b、質量Mの円板を、重心から距離hの点に円板に垂直な軸をつけ、これを水平軸として鉛直面内で振動させる。
(1)微小振動させた時の円板は単振動する。その周期を求めなさい
(2)上の問題で周期を最小にするには、hはどのように選べばよいか？
この２つが自分でやってもよく分かりませんでした。
どうすればいいのでしょうか？

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=630224
の grothendieck さんと私の回答をご覧下さい．
特に，私の回答 No.4 がちょうどこの質問の本質的な答になっています．
ただし，今の場合は円板，#630224 の場合は円環ですから
重心周りの慣性モーメントが当然違います．
そのあたりを修正してください．

お礼

ありがとうございます。（２）は分かったのですが周期の出し方（固有振動数）等がまだよくわかりません・・

回答No.3

siegmund

siegmund です．
書き損ないました．
- Mgh sinθ をコピペしたあと，直すの忘れた．

(3)　　J(d^2 θ/dt^2) = - Mgh sinθ ≒ - Mghθ

と訂正してください．

お礼

わざわざありがとうございます。
おかげで出来ました。内容も理解できました～

回答No.2

siegmund

回転角をθとして，
(1)　　J(d^2 θ/dt^2) = N
が回転の運動方程式です．
J は慣性モーメント，N は外力のモーメント．
θを鉛直から測ると，
(2)　　N = - Mgh sinθ
ですから(重力による力 Mg に「腕の長さ」h sinθ)，
運動方程式は
(3)　　J(d^2 θ/dt^2) = - Mgh sinθ ≒ - Mgh sinθ
になります(最後はθが小さいとした)．
これは単振り子の運動方程式と同型ですから，
振動数と周期は単振り子の知識から直ちにわかります．

#630224 の No.3 grothendieck さんのラグランジアン法でもいいわけですが，
ここでは初等的にやってみました．