f（x）の役割について

質問

• f（x）は2xによって変換される値として置かれている
• f（x）は値であり、xの関数であることを示している以外に何か意味を持ってますか?
• fは写像としての役割を果たしているので、ある値を2倍しているのはfであるとも言える

回答No.2

boiseweb

関数を表すのに f(x) と書く習慣に対しては，
「関数 f を表すのか，それとも x に f を適用した結果の値を表すのか，はっきりしない」
という批判が昔からあります．
（#1さんが言及しているラムダ記法は，そういう批判への答のひとつでもあります．）
それにもかかわらず，関数を f(x) とか y=f(x) で表すと書いてある教科書が多いのは，歴史的なしがらみを引きずっている，というか，過去の習慣と現代の集合論的な記法のはざまで「煮え切らない」態度を執筆者がとっている，ということで，「教科書に書いてあるからそれが正しいのだ」とは言い切れない面があります．

私がよいと思う流儀は，関数を指し示すときには f(・) と書くことです．
括弧の中の・は「値を入れる場所」を表します．
こうすれば，単に f と書くのと比べて，
(1) 1変数の関数である（引数の数が1個である）
(2) 関数の合成は「右から順に適用」と解釈すればよい
という情報が見てとれるというメリットを享受できます．
また，f(x) という記法との差異が小さいので，関数を f(x) と書く流儀の人にとっても違和感が少ないと思います．
一方，f(x) という記法がもつ「関数なのか値なのかわかりにくい」という欠点は解消されます．

ところで，関数 f(・) が「どのような関数か」を説明しようと思うと，「入れる値」と「出てくる値」の関係を記述する必要があります．そして，その関係を記述するためには，たとえば
「x を入れると 2x が出てくる」
のように，「入れる値」を x などの文字で表したいですよね．
そのときにだけ，x という文字を導入して，f(x) と書いてよいことにしましょう．
つまり，関数を指し示すときの名称としては f または f(・) を使って x という文字は一切使わないことにして，関数を説明するときにだけ
「f(・) は f(x)=2x で定まる関数です」
のように，「入れる値」に文字 x を使うのです．
ここで導入する文字 x は「関数の中身の説明」のためだけの文字（C言語の関数定義の「仮引数」と同じ）です．関数の説明の外側でたまたま同じ文字 x が出てきても，それとは別物と理解します．

このようにして，関数 f(・) が何であるかをはっきりさせるプロセスが終了したら，そこから先は，f(1) も f(a) も f(x) も，どれも「単なる値にすぎない」と，すっきり理解できます．

こういう流儀が多くの教科書に広まれば，質問者さんのように悩む人がいなくなると思うのですが…

お礼

回答ありがとうございました。

補足

♯1さんから、『fは確かに機能を持っているが、機能をf（x）とも書く。』というような回答を頂きました。
しかしf（x）が機能を持っている事にやはり納得できません。
f（x）=（xの式）があれば、f（x）は（xの式）によって算出される値であって、機能を言ってるのではないとしか思いません。
f（x）=2xがあれば、例えばf（1）=2ですが、抽象的にx=xならばf（x）=2xです。
だからこの場合は常にf（x）は2xという値を意味しているのだから、やはりf（x）は単なる値にすぎない（♯2さんは最後にそう書かれていらっしゃいますが）のだから、f（x）が機能を持つというのに納得出来ません。

よければ回答お願いします。