一様連続と連続の違い

質問

一様連続と連続の違いは何か。
εδでそれぞれの定義が示されていますが、見てもその違いがよくわかりません。
厳密でなくてもよいので違いはどういうことなのか教えてもらえないでしょうか。
違いがわかれば、一様連続の意味もわかると思いました。

回答No.8

boiseweb · ベストアンサー

#7さんの
>「連続」＋「有界」⇒「一様連続」
も，残念ながら誤りです．
この法則に当てはまる例が多いとはいえますが，すべてがそうではありません．
#4さんが挙げた例のひとつ，f(x)=sin(1/x) （x>0 を定義域として）は，連続かつ有界であって一様連続ではない関数の例です．

「連続」＋「○○」⇒「一様連続」
と言う図式で，定理として証明可能な事実としては，
「連続」＋「定義域がコンパクト」⇒「一様連続」
があります．
一方，
「連続」＋「定義域がコンパクト」⇒「有界」
という定理もあります．
これらのことから，一様連続性と有界性には一見関係があるように錯覚する可能性がありますが，実は関係ありません．連続関数について，一様連続性と有界性の間には強弱関係は成り立ちません．

この質問に自信を持って回答しようとする優秀な解答者の方々でさえ，こういう勘違いをするのです．
「一様連続」とは何かを感覚的な説明で捉えようとすることは，そのぐらい「危うい」（誤りに陥りやすい）学習姿勢だということを，認識しておいてください．
別の言い方をすると，「一様連続とは何か」について，「ウソのない」感覚的な説明を見つけるのは，そのぐらい難しい（いくつかの例だけにあてはまる説明を安直に作るだけでは，どうしても漏れが生じる）ということです．
だからこそ，最終的には，言葉による厳密な定義をよりどころにするしかないのです．

連続性と一様連続性の違いを取り上げている参考文献をもう1件あげておきます．
新井紀子(著)「数学は言葉(math stories)」東京図書

お礼

確かな知識に裏打ちされた回答ありがとうございます。
「一様連続」とは何かを感覚的な説明で捉えようとすることは，そのぐらい「危うい」（誤りに陥りやすい）学習姿勢だということを，認識しておいてください．
というご指摘をうけて、このような質問をするのも愚問のように思えるのですが、・・・
見た目は連続も一様連続もグラフは一緒ですが
「連続」の概念だけでは、考えを進めることができない場合があるので「一様連続」というものが
出てきたと思うのですが、連続では解決できなくて一様連続を活用すると解決できる問題は
どのようなものがあるのでしょうか。
見た目が同じ場合、その利用価値、必要性など効果があることが、実感されないとと思います。
もし、よければ愚問ですが教えてもらえないでしょうか。