数学の問題

質問

数学の問題で、以下のような問題が出ました。

碁石を、上から順番に、その段の値と同じだけ並べていき（１段目に1個 2段目に2個・・・）、n段目まで並べます。
そこから、ある段の碁石を全て取り除いたら、（残りの碁石）÷（残りの段数）が98/3になりました。
何段目の碁石を全て取り除いたでしょう？

どのように解けば、答えが出るでしょうか？

回答No.3

momordica · ベストアンサー

n段目までの碁石の数の和は
　n(n+1)/2
そこからある段の碁石をすべて取り除くと、取り除く数は最小で1、最大でnですから、
残りの碁石の数として考えられる最小と最大の数はそれぞれ、
　n(n+1)/2-n=n(n-1)/2
　n(n+1)/2-1=(n+2)(n-1)/2
したがって、これらを残りの段数(n-1)で割ったものが、（残りの碁石）÷（残りの段数）の
値として考えられる最小および最大となるので、ｎは不等式
　n/2≦98/3≦(n+2)/2
を満たすことが分かります。これを解いて、
　190/3≦n≦196/3
ｎは自然数で、190/3=63+1/3, 196/3=65+1/3ですから、
　n=64 または 65
題意より、ｎから1を引いた数は3の倍数であるはずなので、
　n=64

あとは、取り除いたのがm段目であったとすると、
（残りの碁石）÷（残りの段数）=98/3から、
　(64*65/2-m)/63=98/3
これを解いて、
　m=22

したがって、取り除いたのは22段目です。

お礼

丁寧なご回答ありがとうございます。
不等式を使用し、範囲で考えればよかったのですね。
理解することが出来ました。

回答No.2

Quattro99

私も愚直にやる方法しか思い浮かびませんでした。
#1さんとほとんど同じですが、

m段目を取り除いたとすると、
{n(n+1)/2-m}/(n-1)=98/3
という式が立てられますが、これをごちょごちょと変形すると
n-{2(m-1)/(n-1)}=189/3
となります。1≦m≦nなので0≦{2(m-1)/(n-1)}≦2であり、189/3は63+1/3なので、
nは64か65となります。
また整数から分数を引いて分母が3である分数になっていますから、n-1は3の倍数です。
従ってn=64ということになり、m=22も求まります。

お礼

丁寧なご回答ありがとうございます。
やや分かりにくい部分がありましたが、No.3の方の解説を見て理解することが出来ました。

回答No.1

gohtraw

（残りの碁石）÷（残りの段数）が98/3になるので、段数から１を引いたものは３の倍数です。取り去る前の段数をｎとすると、碁石の数÷段数＝（ｎ－１）／２であり、これが９８／３≒３３に近いのはｎが６４の周辺であるときです。
　そこでこの周辺について下記の表を作ってみると

ｎ　　　n(n+1)/2　　　(n-1)*98/3
61　　　　1891 　　　　　1960
64　　　　2080 　　　　　2058
67　　　　2278 　　　　　2156

となり、ｎ＝６４の時に２２段目を取り去れば題意を満たすことが判ります。ｎ＝６１は一段取り除いたあとの段数（６０）に９８／３をかけると元の碁石の数を超えてしまうので不適、ｎ＝６７は１００個以上取り除かねばなりませんが高々６７段しかないのでやはり不適です。
何か垢抜けしないやり方ですが・・・。

お礼

丁寧なご回答ありがとうございます。
やや分からない部分がありましたが、No.3の方の解説を見て理解することが出来ました。

補足

丁寧なご回答ありがとうございます。
一つだけ、分からないところがありました。

＞取り去る前の段数をｎとすると、碁石の数÷段数＝（ｎ－１）／２であり、これが９８／３≒３３に近いのはｎが６４の周辺であるときです。

この、「碁石の数÷段数」というのは、「取り去った後の碁石の数÷取り去った後の段数」という意味でしょうか？
また、どのようにして(n-1)/2になるのでしょうか？

よろしければ、お暇なときに、ご回答いただければ幸いです。