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どういう緩和メカニズムかわからないので見当違いになるかもしれませんが、量 x が平衡値 a からずれたときに a に戻ろうとする挙動であれば dx/dt = - (x - a) / τ が典型的な候補ではないかと思います。τ は時定数（緩和時間）です。この式の積分は容易です。
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「補足」に対して： どんな関係があるのか、私には想像もできません。
お礼
関係ない方向で解いてみます。 ありがとうございました！
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