ベクトルの問題を教えてください！

質問

ベクトルの問題を教えてください！

すみません、教科書の章末問題が難しくて解けません。
問題は、

三角形XYZにおいて辺ZYを2：1に内分する点をV、
線分XVの中点をMとし、直線ZMと辺XYの交点をDとする。

（１）→ZD=k→ZMを満たす実数kの値
（２）XD:DY

今日中にヒントだけでもいただけるとありがたいです。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

与えられた点を自分で決めた２つのベクトル（例えば→XYと→XZ）だけで表すようにして行けば求められますよう。

(1)　点Vは線分ZYを2:1に内分する点なので　→XV=(2/3)→XY+(1/3)→XZ
　　点Mは線分XVの中点(1:1に内分する点)なので　→XM=(1/2)→XV=(1/3)→XY+(1/6)→XZ
　　∴→ZM=→ZX+→XM =(1/3)→XY-(5/6)→XZ

　　→ZD=k→ZM　なので、　→ZD=(k/3)→XY-(5k/6)→XZ　　・・・・（A)

　　点Dは線分XY上の点なので　→XD は →XY だけで表せて　→XD=t→XY　（0<t<1)となります。
　　ここで、先ほど求めた式(A)を利用して→XDを考えますと、
　　　→XD=→XZ+→ZD=(k/3)→XY+(1-5k/6)→XZ
となりますので、
　　1-5k/6=0　∴k=6/5
となります。

(2)　(1)の結果から　→XD=(2/5)→XY　となりますので、
　　点Dは線分XYを2:3に内分しています。
　　　∴XD:DY=2:3

お礼

わかりやすい解説、ありがとうございました！！

教科書には詳しい解説が載っていなくて本当に困っていました…
相談してよかったです（*^_^*）

回答No.2

htms42

この問題はベクトルを使わずに幾何的に解くことが簡単にできます。
メネラウスの定理を２回使えばいいです。

教科書の章末問題だということですので
幾何的には分かっている内容をベクトルで求めてみようということになります。

内分点とか交点とかをベクトルではどのように表していくのだろうかという問題意識です。
あらかじめ幾何的なイメージを取っておけば「何をしているのか全く分からない」という事は起こらないだろうと思います。

お礼

ありがとうございました！！

関連づけて覚えないと混乱してしまうんですね…
これからは習ったことを組み合わせて取り組みたいと思います！

本当にありがとうございました！