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空間上の3直線の平行関係の証明について。

空間上の3直線の平行関係の証明について。 空間上の直線p , q , rにおいて p//q , p//r ⇒ q//r はどのように証明したらよいでしょうか? よろしくお願い致します。

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  • info22_
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回答No.1

空間上の直線について「2直線が平行である」ことの定義を書いて見てください。 定義がわかっていなければどのように証明したら良いか分かるはずがないですよ。 分からなければ教科書に載っていますからまず定義を調べて下さい。 定義は色々表現の仕方は異なるものがあるかと思いますが表現は違っても内容は同じです。 その定義をq,rが満たしていることを示すだけです。 その定義に基づいて証明の方針を立ててください。 そうすればどのように証明したらよいか分かるはずです。 方針は1通りではありません。あなたが考えて方針に沿って証明すれば良いでしょう。 方向ベクトルの成分を使ったり、3直線の方程式を使ったり、方向ベクトルの内積を使うなど、どの方法による証明でも良いですから、あなたが証明の方針をたてることです。 たとえば qとrの方向成分の比が同じであることを示しても良いですし、 あるいは qとrの方向ベクトルの内積がゼロになることを示しても良いでしょう。 あるいはq上の任意点Qからrに下ろした垂線の長さが一定であることを示しても良いでしょう。 色々な証明の仕方があると思います。 また、背理法を使っても良いですね(q、rが平行でないとすると矛盾することを示して、rとqが平行でなければならないと結論付ける方法)。

da23
質問者

お礼

ご回答どうもありがとうございます。 直線の平行の定義をあいまいにしていてすみません。 初等幾何です。 「空間の2直線が平行である」 とは「2直線が同一平面上にあり、かつ交わらない。」です。 質問を言い換えますと 「直線p, qは、ある平面上にあり、交わらない。直線p , rも別の1つの平面上に乗っていて交わらない。この時、直線q ,rも交わらずに、かつ一つの平面上に乗っていることを示せ」ということだと思うのですが。 初等幾何なので、ベクトルや方程式を使わずに初等幾何内で証明できればよいと思っているのですが…。 3垂線の定理などのように初等幾何での証明ができないでしょうか? よろしくお願い致します。

その他の回答 (1)

  • info22_
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回答No.2

#1です。 3垂線の定理の証明ができるなら、3垂線の定理を使って p//q,p//r から q//r を 証明できませんか?

da23
質問者

お礼

再度のご回答どうもありがとうございます。 3垂線の定理が初等幾何でうまく証明できるので、 この定理も、と思ったですが、 どうもうまくいきません…。 ネットでも調べているのですが、定理名もないので、なかなかヒットしません…。

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