「直線m , nが平行で、平面pがmを含み、nを含まなければ、p//n

質問

「直線m , nが平行で、平面pがmを含み、nを含まなければ、p//n」の証明

この定理の証明を教えて頂きたいのですが。

調べても見つけられなかったのですが、
この証明が載っている本、HPをご存じでしたらご紹介ください。

よろしくお願い致します。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

#1です。

A#1の補足質問について

>>『直線nと平面pが交わる⇒矛盾』　という背理法の流れだと
>この矛盾部分は『直線mと直線nは同一平面上にない。』しかないと思うのですが。

>「平面p上のmに平行な平面上の直線が直線nに一致することを示せば、」の部分は、
>直線nを含むmに平行な平面があるならば、　
>と解釈したのですが、

>>直線nが平面に含まれる平面p上の直線でない
>この部分に関して、ちょっと分からないです。

あなたの考え方は良く分からないですが、理解を深める意味でA#1を補足しておきます。

直線mが平面pと共有点Qを持つとすると平面P上の点Qを通り直線mに平行な、平面pに含まれる直線kを引くことが出来る。
点Qを通る直線mに平行な直線は1本しか存在しないから直線kと直線nは一致する。然るに直線kは平面pに含まれる直線えあり、一方、直線nは平面pに含まれず平面pに交わる直線であるから、直線kと直線nが一致することは矛盾する。
したがって、平面pに含まれない直線nが平面pと交わるとした仮定に誤りがある。つまり直線nは平面pに交わることはない。つまり直線nは平面pに平行である。（これで証明終わりですね。）

お礼

補足どうもありがとうございます！
とてもよく分かりました。

>点Qを通る直線mに平行な直線は1本しか存在しない
ここが全然分かりませんでした…。
読み返すとNo.1に書かれていることと同じですね…。
私に解釈力がなく、お手数を取らせましてすみませんでした。
私の想像とは全然違う証明で、思っていたより難しかったです…。^^;

とても勉強になりました。
どうもありがとうございました！

回答No.1

info22_

直線が平面に平行であることの定義はなんでしょうか？
その定義がわかっていなければ証明できっこないでしょう。

「平面と直線が共有点を持たないこと」
これが直線が平面に平行であることの定義でしょう。

もし「直線nが平面pに平行でないと仮定」した時、共有点を少なくても一点持ちます。その共有点を通り、平面p上のmに平行な平面上の直線が直線nに一致することを示せば、直線nが平面に含まれる平面p上の直線でないことと矛盾が生じる」ということを示せば、仮定が間違っている、つまり直線nが平面pと共有を持たないことが示すことが出来たことになります。これは直線nと平面pの平行の定義そのものですから、証明出来たことになります。

参考質問
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1247754312

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

『直線nが平面pに平行でないと仮定」した時、共有点を少なくても一点持ちます。』
ここまでは分かるのですが、その先がよく分かりません。

『直線nと平面pが交わる⇒矛盾』　という背理法の流れだと
この矛盾部分は『直線mと直線nは同一平面上にない。』しかないと思うのですが。

「平面p上のmに平行な平面上の直線が直線nに一致することを示せば、」の部分は、
直線nを含むmに平行な平面があるならば、　
と解釈したのですが、

>直線nが平面に含まれる平面p上の直線でない
この部分に関して、ちょっと分からないです。

補足して頂けるとありがたいです。

よろしくお願い致します。