この問題がわかりません。

質問

この問題がわかりません。

「座標空間内の４点(0,0,0)（tcost,tsint,0),(tcost,tsint,t)(0,0,t)を頂点とする正方形Ｒｔとし、ｔが０からπ/２まで変化するときＲｔが描く立体をＫとする。
（１）Ｋを平面z=θ（０≦θ≦π/２）で切った切り口の面積Ｓ(θ）を求めよ」

Ｓ(θ）がどんな図形になるか見当もつきません＞＜ご教授ください。

回答No.3

naniwacchi · ベストアンサー

#1です。

#2さんが書かれているとおり、
極座標形式に対する面積の求め方は高等手段としては「あり」だと思います。
ただ、高校数学の範囲からは出てしまいますよね・・・。

そこで、置換積分の考え方を用います。
面積の計算自体は、S＝∫[a→b] y dx と与えられますね。
これを媒介変数表示に置き換えていきます。
S＝∫[a→b] y dx＝∫[t1→t2] y(t) dx(t)/dt・dt

いまの問題であれば、積分区間は 0≦ x≦ θcosθです。
これに対応する媒介変数：tは、θ≦ t≦ π/2となります。
（x＝ 0は、θ＝ 0のときではなく、θ＝π/2のときになります。）
あとは、y＝ t* sin(t)、dx＝ { cos(t)- t* sin(t) }dtを当てはめていきます。

で、このまま積分を計算しても S(θ)ではありません。
というのは、右下の三角形の分が余計になっているので差し引きます。

これで、#2さんと同じ式が与えられます。

単なる「変数変換＝置換積分」を書いてるだけなのですが、結構疲れますね。＾＾；

お礼

わざわざ丁寧な回答ありがとうございます。