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各頂点がｎ本の線で結ばれている図形について
たとえば正四面体を平面に押し付けて各頂点を線で結ぶと必ず３本必要です。立体的な図形はどんなに頂点の数が多くても３本の線でつながっています。平面の図形では各頂点は２本の線でつながっています。逆に五角形の中に頂点を共有する星型を書いて当初の五角形の各頂点と新たに星型が作った５個の交差点を頂点とすると各頂点は４本の線で結ばれます。これは４次元空間の図形を現していることになるでしょうか。
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おっしゃるとおりです。 ３次元では、方向（座標軸）が３つあるから、各頂点に辺が３つあるように、４次元では、方向（座標軸）が４つあるから、各頂点に辺は４つあります。 まず、ひし方の、対角線を片方は実線で、片方は点線でかくと、 ４面体に見えますか？ そのように、おっしゃる図形は４次元の図形を現わしています。 参考の URL の真ん中あたりに、おっしゃる図形とまったく同じものが あります。 （色と解説つきです）
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- kkkk2222
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ーーー 超立方体のとき Ｎ次元立方体の頂点の数＝２＾Ｎ Ｎ次元立方体の辺の数＝Ｎ＊２＾（Ｎ－１） 頂点と頂点を結ぶ時、 辺のすうをダブルカウントするため ２＊［Ｎ＊２＾（Ｎ－１）］ これを頂点の数、２＾ＮでわるとＮとなり 頂点をむすぶ線分の数と次元数は一致する。 また、この事項は上記の式がなくとも、 推論可能である。 ーーーー 最後に記述された図形が、 ４次元図形の２次元へ投影図ならば、もとの図形は ４次元三角形の可能性はあるが、 検証は出来ていない。 と思ったら、＃３様が ４次元三角形であると指摘済み。 スゴイです！！！
お礼
ご懇切なご教示を感謝いたします。４次元を素朴に想像する為に使えないかと思っていました。４次元における例から類推すると５次元では６角形を書いて各頂点から残りの頂点に線を引くことによって得られることになりますか。
- debukuro
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＞頂点を四角形に変形 これも理解できません 頂点は点であってこの点をどのように四角形（四辺形）に変形するのでしょうか？ ＞４次元空間 ｘｙｚの三軸に直交する第四の空間軸を含めた空間を四次元空間というそうです。 第四の空間軸が私たちから見てどの方向に伸びているのかわかりません。 だから平面に投影することは出来ないと思います。
お礼
どうもうまくかけなくて申し訳ありません。いろいろご指摘いただいてどうもありがとうございました。
- jamf0421
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>立体的な図形はどんなに頂点の数が多くても３本の線でつながっています。 の意味が判りません。ピラミッドの頂上は4本の稜線が来ていますが、何か題意を誤解しているのでしょうか？
補足
私の記述が足りませんでした。ピラミッドのようなものも頂点を四角形に変形し、この四角形の各頂点から４本の稜線を出すというようにします。このようにすれば各頂点から３本の線が出せます。このこととこの図形が収まっている空間が３次元であるということにならないかと考えたわけです。ここからは空想ですがｎ次元なら各頂点からｎ本の線が出ているのではないかと思ったのです。
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