- ベストアンサー
多重積分の計算方法と立体の形状について詳しく解説
- この問題では、多重積分を計算する必要があります。具体的には、与えられた領域Vの積分∫∫∫_V x dx dy dzを求めることが求められています。
- 領域Vは、x軸、y軸、z軸に対して|x|+|y|+|z| <= 1という条件を満たす範囲です。この条件を満たす立体の形状についても詳しく解説します。
- また、問題の答えについても説明します。答えは、x座標がxで、yz平面に並行な平面によるVの切り口の面積がS(x) = 2(1-|x|)^2となり、積分は∫[-1,1] x S(x) dxで計算できます。被積分関数は奇関数のため、結果は0となります。
- futureworld
- お礼率91% (326/357)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数13
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
その他の回答 (1)
- aquatarku5
- ベストアンサー率74% (143/193)
正八面体ですね。 http://wind.ap.teacup.com/skreduts/timg/middle_1209096193.png を借用するとして、 x軸=OC方向、y軸=OD方向、z軸=OA方向。 OC=OD=OA=1 yz平面に平行な平面による切り口の一例は、 CA,CB,CD,CFの(1-x):x内分点同士を結んだ◇形状の正方形。
お礼
ありがとうございます。 既に回答なさっていたんですね （OKWaveの中の人が回答を調べている、という旨の告知がついさっきまで出ていました）。 正八面体と分かってすっきりしました。 ありがとうございました！
関連するQ&A
- S(x) = 2(1-|x|)^2 をどうやって導いたのでしょうか？
S(x) = 2(1-|x|)^2 をどうやって導いたのでしょうか？ 次の多重積分を計算せよ。 ∫∫∫_V x dx dy dz V: |x|+|y|+|z| <= 1 という問題で、答えが 「x座標がxでyz平面に並行な平面によるVの切り口 |y|+|z| <= 1-|x| の面積は S(x) = 2(1-|x|)^2 で、 積分は∫[-1,1] x S(x) dx に等しく、被積分関数は奇。よって0。」となっています。 S(x) = 2(1-|x|)^2 をどうやって導いたのでしょうか？ 私の頭で想像している立体が正しければ、多分、 ピラミッドを上から見たときの正方形の一辺が √(2)(1-|x|) で その正方形の面積なので二乗して 2(1-|x|)^2 になったのだと思っています。 でも、全然自信がありません。というのも、私が想像しているのは 「xy平面に並行な平面によるVの切り口」 で、この問題では 「yz平面に並行な平面によるVの切り口」 になっているからです。それなら三角形あるいは長方形になる気がします（これも自信なし）。 …ということで、S(x) = 2(1-|x|)^2 の導き方を教えて下さい。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- (V: |x|+|y|+|z| <= 1)と(V: x+y+z <=
(V: |x|+|y|+|z| <= 1)と(V: x+y+z <= 1; x>=0, y>=0, z>=0)は同じ意味? 次の多重積分を計算せよ。 ∫∫∫_V x dx dy dz V: |x|+|y|+|z| <= 1 という問題で、答えが 「x座標がxでyz平面に並行な平面によるVの切り口 |y|+|z| <= 1-|x| の面積は S(x) = 2(1-|x|)^2 で、 積分は∫[-1,1] x S(x) dx に等しく、被積分関数は奇。よって0。」となっています。 そこで質問ですが、 V: |x|+|y|+|z| <= 1 は V: x+y+z <= 1 x>=0, y>=0, z>=0 とまったく同じ意味でしょうか？ 他の本に後者の形で定義された問題があったので応用できないかと考えています。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 立体の体積 極座標 （二重積分）
次の立体の体積を求めよ。 (1)曲面z=4-(x^2)-(y^2)とxy平面で囲まれた立体 (2)球(x^2)+(y^2)+(z^2)=4が、円柱(x^2)+(y^2)=2xで切り取られる部分。 二重積分と極座標を用いるってのはわかりましたが、半径をr,角度をθとすると、それらの積分区間がわかりません。よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 非回転体→体積
xz平面をみると、原点を中心とした半径π/2の円があり、それがy軸を串にしたような形で円筒状になっている。 同様に、yz平面にも原点中心とした半径π/2の円があり、x軸を串としたような形で円筒状になっている。 この座標空間内の2本のパイプのz≧0における共通部分の体積を求めなさい。 こういう問題です。切り口を考えるのがポイントのようですが・・・ 立体を平面z=cosθ（0≦cosθ≦1 0≦θ≦π/2）で切断するとその切り口は1辺が2θの正方形になる ・・・正方形・・・なぜ？ このへんから良く分からなくなってきました・・・。 ご回答よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ベクトル解析のポテンシャルを求める問題について
ベクトル場Ｖ＝(x+2y+4z)i+(2x-3y-z)j+(4x-y+2z)kが、rotV=0のときのＶのポテンシャルを求めたいのですが、解答を見てもよく分かりません。 (x+2y+4z)の積分、(2x-3y-z)の積分、(4x-y+2z)の積分をして、積分定数（それぞれC1・C2・C3）がでてくるところまではわかるのですが、解答にはそのあと「これらを比較してC1=(-3/2)y^2+z^2-yz、C2=(x^2/2)+z^2+4xz、C3=(x^2/2)-(3/2)y^2+2xyとすればよいことが分るから」と続き、答えが出ています。 これがよく分からないのですが、分かる方がいらっしゃいましたら教えてください。 よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- どんな図形？
どんな図形？ 問題文：ある立体の底面は、曲線y=sinx(0≦x≦π)とx軸とで囲まれた図形 で、この立体をx軸に垂直な平面で切った切り口は底辺がsinxで高さがx の三角形である。この立体の体積を求めよ。 上記のような問題です。 もうお気づきかもしれませんが数IIIの積分の問題です。 文章から問題は解けたのですがまったく図形が想像できません。 曲線y=sinx(0≦x≦π)とx軸とで囲まれた図形→そうですか 切り口は底辺がsinxで高さがx→はい？どこをどう切れば？さっきと言ってる事変わってない？ 見たいな感じで困惑しています。 どなたか図示してください。お願いします。 またグラフとか立体とかの形を見るのに使えるソフトをご存知でしたらぜひ教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
大変、ありがとうございます！ やはり、私の想像を超えていました。 つまり、 (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) (-1,0,0) (0,-1,0) (0,0,-1) の6つの点を頂点に持つ正八角形(regular octahedron)なのですね。 これを見て初めて、 xを固定してyz平面の射影も yを固定してxz平面の射影も zを固定してxy平面の射影も 同じ正方形をしていることが分かりました。 百聞は一見にしかず、ですね。(^^ゞ これからは問題を見て頭の中で 三次元の立体を描けるように頑張りたいと思います。 本当にありがとうございました！