解らなくて質問するのではないのですが

質問

解らなくて質問するのではないのですが

a、bが正の有理数の時、a＋b＝xy、ab＝x＋y　を満たす整数x、yの組を全て求めよ。

a、bが正の整数という条件なら既出問題でしょうが、それをarrangeしてみました。
私の解は一応用意してありますが　(出来たつもりです。。。。。ｗ)、その他に解法がないのかという事を含めて、皆さんならどう解くか、を教えてください。

回答No.5

Tacosan

明らかに牛刀だが
a と b を解とする 2次方程式は整数係数のモニックな方程式で, その解は有理数なら整数
だな.

回答No.4

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解答に興味があるので、考えました。ピントが外れているかもしれませんが。
a=p/q,b=s/t 既約分数とおく。a+b=p/q+s/t=m(整数)より、pt+qs=qtmとなり、
互いに素の関係から、tはqでわれる、かつ、qはtでわれる。よって、q=t. これより
pt+qs=qtmはp+s=tm・・(1)。また、(p/q)(s/t)は整数で、pとq，sとtは互いに素より、
pはt でわれる。よって(1)からsはtでわれる。これより、bは整数となる。
このことから、aも整数。
つぎに、a＋b＝xy、ab＝x＋yの両辺を互いにひくと、2-(a-1)(b-1)=(x-1)(y-1)となり、
x,y,a,bは自然数であることから、(a-1)(b-1)=2,1,0の場合が考えられる。
このことから、(x=2,y=2)(x=1,y=5)(x=5,y=1)(x=3,y=2)(x=2,y=3)

補足

私の用意した解です。

a＝p/q、b＝m/nとすると、pとq、mとnは互いに素。
a＋b＝xyから、p/q＋m/n＝xy　(整数)。　n＞qとすると、m/n＝(qxy-p)/(q)となり、左辺が既約である事に反する。n＜qとしても同じ。
そこで、q＝n＝kとすると、pとmはkと互いに素。ab＝x＋yから　pm/k＾2＝x＋y　(整数)となる。
k＞1とすると、pとmがkと互いに素である事に反するから、k＝1。つまり、aとbは整数である。

回答No.3

Tacosan

普通のかっこの使い方からは
「どちらの分子も (等しい) 分母と互いに素」
とあったときに「分子が等しい」とは読まないもののはず....
2次方程式の方は, 解と係数の関係から a と b を 2解とする 2次方程式を作ればいい. この方程式が「整数でない有理数」を解に持たないことは, 方程式を見ればわかるよね?

補足

文章は、自分でそう書いたつもりでも、人にはそう解釈されない時がある。
誤解されないように書くべきなんじゃないの。

回答No.2

Tacosan

a, b を既約分数でおいてちょろっと計算すれば「どちらも整数でなければ条件を満たす整数 x, y が存在しない」ことはすぐわかる. a と b の分母が等しく, またどちらの分子も (等しい) 分母と互いに素だから.
2次方程式の解と係数の関係から示すこともできるが, うれしいかどうかはよくわからん.

補足

＞a と b の分母が等しく, またどちらの分子も (等しい) 分母と互いに素だから.

分母は等しくなるのは解りますが、分子が等しくなる必要もない。
しかし、この方法は私の用意したものと同じなようです。詳細はわかりませんが。

＞2次方程式の解と係数の関係から示すこともできるが

その証明をお願いします。

回答No.1

Tacosan

a, b が整数のときに限られるから結局同じではないかな.

補足

＞a, b が整数のときに限られるから結局同じではないかな.

それを証明してください。
そこが、この問題のポイントのようです。

ならば、解法は1つしかないという事になるか。。。。？