分かりません。２つ問題

質問

分かりません。２つ問題
（１）円(x-1)^2+(y-1)^2=1と直線y=-x+1の交点をＡ，Ｂとするとき、
　　線分ＡＢの長さとして次のうち正しいのはどれか？

（２）放物線y=-x^2+1と直線y=-2x-2と囲まれる部分の面積はいくらか？

　分からない問題ばかりですみません。お願いします

回答No.2

noname#189285 · ベストアンサー

(1)の回答

下の図の左側が(1)を絵で表したものですが、この図が正確に分からなくても答えは出ます。

二つの式の交点を出すというのは、「どちらの式とも満たすxとyの組み合わせを探す」という作業に他なりません。すなわち二つの式を連立方程式として解くと言うことです。

従って、

(x-1)^2+(y-1)^2=1

のyに、もう一つの式y=-x+1の右辺を代入し、

(x-1)^2+(-x+1-1)^2=1

変形して

(x-1)^2+(-x)^2=1

x^2-2x+1+x^2＝1

2x^2-2x＝0

2x(x-1)=0

以上からx=0及び1と分かります。これをy=-x+1に代入してyの値を得れば

(0,1)と(1,0)が二つの交点となります。

これを結ぶ線分の長さは当たり前ながら√2です。

(2)の回答

本来は二つの式の交点を求めて、二つの式の”差”の式を交点間で積分して面積を求める、という手順になりますが、放物線の場合は便利な公式があるので、それを使います。

下の図の右図の通り、yの値がプラス側が放物線y=-x^2+1、マイナス側がy=-2x-2なので、放物線から直線を”引きます”

y=-x^2+1 - (-2x-2)

変形して

y＝-x^2+1+2x+2

　＝-x^2+2x+3

　＝-(x^2-2x-3)

　＝-(x-3)(x+1)

以上の”差”の式を積分するということが、二つの線に囲まれる面積を出すということと同義となります。今回の場合、囲まれる範囲全てが対象の為、交点～交点で積分する訳です。y＝の式で表しているので、範囲はxです。交点のxの値は上の式よりマイナス側が-1、プラス側が3です。上の式は”差”を表している式なので、y=0となるxが交点座標となるので、-1と3が分かる訳です。

ここで放物線の公式

-1/6　×(β-α)^3

を使います。(x-α)(x-β)で表されている放物線と線分の差の式なら、これをαからβの範囲で積分した値を出せるという優れものです。

と言うわけで、αに-1、βに3を入力すると、

-1/6　×　4^3

＝　-32/3

と出ます。元の式は-(x-3)(x+1)であり頭にマイナスが付いているので求める答えは

-1×　-32/3

＝　32/3

これが求める面積となります。

お礼

丁寧な式で分かりやすかったです。良く覚えていますね。
負けないように私も頑張ります

回答No.3

kk0578

こんにちは。
解答を書こうと思ったのですが、答えにはぜひ自分でいきついてほしいので、解き方だけ
示したいと思います。

（１）まず、円(x-1)^2+(y-1)^2=1のyに-x＋1を代入し、xについての二次方程式を解きます。
　　　そうすれば、x=0,x=1という解が出てきます。これが円と直線の交点のx座標です。
　　　よって、(x,y)=(0,1),(1,0)が交点になります。（x=0,1をy=-x＋1に代入）

　　　つまり、この問題でいうと、点A(0,1),点B(1,0)となるわけです。
　　　よって、線分ABの長さは、三平方の定理でも使えば、
　　　すぐに出てきます。

（２）定積分を使います。
　　　二つのグラフを丁寧に書いてもらうとわかるのですが、
　　　放物線y=-x^2+1と直線y=-2x-2は、x=-1,y=0と、x=3,y=-8で交わります。
　　　（方程式を解いてもらってもわかります。）
　　　よって、もちめる面積は、添付している画像の計算で求められます。

　　　二つの直線と曲線で囲まれた部分の面積を求めるときには、
　　　上側のグラフから、下側のグラフを引きます。

　適当ですみません。

回答No.1

trf13y

(1)円はxが１、ｙも１を中心とした半径１の円なので、
　　直線が通るのはx(1,0)とy(0,1)です。
　　求める部分を斜辺とすれば３平方の定理でわかります。

(２)1/6(b-a)^3で求めてください。

　　bは右側の交点、aは左側の交点です。