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こういう問題のときあなただったらどうやって解きますか?

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お礼率 3% (8/220)

こういう問題のときあなただったらどうやって解きますか?
放物線y=x^2上の2点A、Bにおいてそれぞれ接線を引きその交点をPとする。
このとき、2点A,Bが∠APB=Π/4を満たしながら動くとき点Pの軌跡を求めよ。
僕はこの問題をベクトルを使って解いたんですけど、計算量が膨大になってしまいました。
この問題は何を使って解いたらいいですか?
解き方を教えてください。

質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.3

ベストアンサー率 44% (1487/3332)

y=x^2より
y'=dy/dx=2x

点A(a,a^2)での接線は
y-a^2=2a(x-a)
y=2ax-a^2 (1)

点B(b,b^2)での接線は
y-b^2=2b(x-b)
y=2bx-b^2 (2)

b>aとする。
(1),(2)の交点がP(X,Y)
(1),(2)を連立して
X=(a+b)/2 (3)
Y=ab    (4)


∠APB=∠B-∠A
∠A、∠Bは各々接線(1),(2)がx軸となす角(傾き)
tan∠A=2a,
tan∠B=2b

tan(∠APB)=tan(∠A-∠B)=(tan∠A-tan∠B)/(1+tan∠B・tan∠A)
=(2a-2b)/(1+2b2a)=tan(π/4)=1
2(a-b)=1+4ab (5)

b>aより(5)の右辺<0
つまり1+4ab <0 (6)
この条件下で(5)^2は

4((a+b)^2-4ab)=(1+4ab)^2
(3),(4)を代入して
16X^2=16Y+(1+4Y)^2
整理して

2(Y+3/4)^2-2X^2=1 (7)
(6)より
Y<-1/4

よって双曲線(7)の下側。
感謝経済、優待交換9月20日スタート

その他の回答 (全3件)

  • 回答No.4

ベストアンサー率 41% (502/1210)

>この問題は何を使って解いたらいいですか?

交角がπ/4という指定なら良いが、∠APB=Π/4であるから補角の3π/4の処理が嫌なので、こんな時は余弦定理を使うほうが良いだろう。

A(α、α^2)、B(β、β^2) α≠β とすると、各々の接線の方程式は、y=2αx-α^2、y=2βx-β^2であるから、連立して点Pの座標を求めると、α≠βから 2x=α+β、y=αβ ‥‥(1)
∠APB=Π/4から、△ABPに余弦定理を使うと、AB^2=AP^2+BP^2-2AP*BP*cos(Π/4) ‥‥(2)
AP^2=(α-β)^2*{1+4α^2}/4、BP^2=(α-β)^2*{1+4β^2}/4、AB^2=(α-β)^2*{1+(α+β)^2}であるから、(2)に代入すると、√2*√(1+4α^2)*√(1+4β^2)=-2(1+4αβ) となる。
これは、1+4αβ≦0、and、(1+4α^2)*(1+4β^2)=2(1+4αβ)^2 と同値。‥‥(3)
後は、(3)に(1)を代入するだけ。
  • 回答No.2

ベストアンサー率 67% (2650/3922)

>この問題は何を使って解いたらいいですか?
2接線を接点の座標をそれぞれA(a,a^2),B(b,b^2)として
y=2ax-a^2
y=2bx-b^2
(a≠b)
とおき、2接線の偏角をそれぞれα,βとおくと
tanα=2a,tanβ=2b
-π/2<α,β<π/2(α≠β)
とすると
2直線のなす角は α-β=π/4の条件は公式を適用して
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)
1=2(a-b)/(1+4ab) ⇒ 2(a-b)=1+4ab…(1)
であらわすことが出来ます。
また、2接線の交点P(X,Y)は2接線の方程式から
X=(a+b)/2,Y=ab…(2)
となります。(1)を変形して
4{(a+b)^2-4ab}=(1+4ab)^2
(2)の関係を代入してa,bを消去すれば
4{4X^2-4Y}=(1+4Y)^2
これを整理すれば、双曲線の方程式が出てきます。
-2X^2+2(Y+3/4)^2=1
Pの座標の軌跡は、流通座標に直して
-2x^2+2(y+3/4)^2=1 (双曲線です)
として求められます。

軌跡の図を添付します。
赤線が軌跡
双曲線の上半分に対する接線対(接線と接線のなす角がπ/4rad=45°)と
双曲線の下上半分に対する接線対(接線と接線のなす角がπ/4rad=45°)と
を青線と緑線で書き込んであります。
  • 回答No.1

ベストアンサー率 44% (2109/4758)

「ベクトルを使って解いた」というのは、π/4 を処理するのに
内積 ↑PA・↑PB を使ったということでしょうか?
それだと、PA や PB の長さを扱うのが面倒そうな気はしますね。
2接線の傾きと π/4 とで、tan の加法公式を使ったらどうですか?
2接点の x 座標を a, b とし、
2a = tanθ, 2b = tanφ と置いて…
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