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こういう問題のときあなただったらどうやって解きますか?
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y=x^2より y'=dy/dx=2x 点A(a,a^2)での接線は y-a^2=2a(x-a) y=2ax-a^2 (1) 点B(b,b^2)での接線は y-b^2=2b(x-b) y=2bx-b^2 (2) b>aとする。 (1),(2)の交点がP(X,Y) (1),(2)を連立して X=(a+b)/2 (3) Y=ab (4) ∠APB=∠B-∠A ∠A、∠Bは各々接線(1),(2)がx軸となす角(傾き) tan∠A=2a, tan∠B=2b tan(∠APB)=tan(∠A-∠B)=(tan∠A-tan∠B)/(1+tan∠B・tan∠A) =(2a-2b)/(1+2b2a)=tan(π/4)=1 2(a-b)=1+4ab (5) b>aより(5)の右辺<0 つまり1+4ab <0 (6) この条件下で(5)^2は 4((a+b)^2-4ab)=(1+4ab)^2 (3),(4)を代入して 16X^2=16Y+(1+4Y)^2 整理して 2(Y+3/4)^2-2X^2=1 (7) (6)より Y<-1/4 よって双曲線(7)の下側。
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- mister_moonlight
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>この問題は何を使って解いたらいいですか? 交角がπ/4という指定なら良いが、∠APB=Π/4であるから補角の3π/4の処理が嫌なので、こんな時は余弦定理を使うほうが良いだろう。 A(α、α^2)、B(β、β^2) α≠β とすると、各々の接線の方程式は、y=2αx-α^2、y=2βx-β^2であるから、連立して点Pの座標を求めると、α≠βから 2x=α+β、y=αβ ‥‥(1) ∠APB=Π/4から、△ABPに余弦定理を使うと、AB^2=AP^2+BP^2-2AP*BP*cos(Π/4) ‥‥(2) AP^2=(α-β)^2*{1+4α^2}/4、BP^2=(α-β)^2*{1+4β^2}/4、AB^2=(α-β)^2*{1+(α+β)^2}であるから、(2)に代入すると、√2*√(1+4α^2)*√(1+4β^2)=-2(1+4αβ) となる。 これは、1+4αβ≦0、and、(1+4α^2)*(1+4β^2)=2(1+4αβ)^2 と同値。‥‥(3) 後は、(3)に(1)を代入するだけ。
- info22_
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>この問題は何を使って解いたらいいですか? 2接線を接点の座標をそれぞれA(a,a^2),B(b,b^2)として y=2ax-a^2 y=2bx-b^2 (a≠b) とおき、2接線の偏角をそれぞれα,βとおくと tanα=2a,tanβ=2b -π/2<α,β<π/2(α≠β) とすると 2直線のなす角は α-β=π/4の条件は公式を適用して tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ) 1=2(a-b)/(1+4ab) ⇒ 2(a-b)=1+4ab…(1) であらわすことが出来ます。 また、2接線の交点P(X,Y)は2接線の方程式から X=(a+b)/2,Y=ab…(2) となります。(1)を変形して 4{(a+b)^2-4ab}=(1+4ab)^2 (2)の関係を代入してa,bを消去すれば 4{4X^2-4Y}=(1+4Y)^2 これを整理すれば、双曲線の方程式が出てきます。 -2X^2+2(Y+3/4)^2=1 Pの座標の軌跡は、流通座標に直して -2x^2+2(y+3/4)^2=1 (双曲線です) として求められます。 軌跡の図を添付します。 赤線が軌跡 双曲線の上半分に対する接線対(接線と接線のなす角がπ/4rad=45°)と 双曲線の下上半分に対する接線対(接線と接線のなす角がπ/4rad=45°)と を青線と緑線で書き込んであります。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
「ベクトルを使って解いた」というのは、π/4 を処理するのに 内積 ↑PA・↑PB を使ったということでしょうか? それだと、PA や PB の長さを扱うのが面倒そうな気はしますね。 2接線の傾きと π/4 とで、tan の加法公式を使ったらどうですか? 2接点の x 座標を a, b とし、 2a = tanθ, 2b = tanφ と置いて…
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