m>=9のとき、

質問

m>=9のとき、
4m<=n^2<=4m+(8/√m)+9/m をみたしている整数m,nについて、
n^2=4m+1が成り立つことを示せ。

つぎのように考えましたが、9<=mが言えません。
よろしくおねがいします。
9<=mより、
(8/√m)+9/m<=8/3+9/9<4
よって、考えられるのは
n^2=4m+1,4m+2,4m+3の3通り。
(1)n^2=4m+1
4m+1<=4m+(8/√m)+9/mとなり
両辺をm倍して,解くと
√m<=9
m<=81 となる。
ここで行き詰まりました。

回答No.3

Tacosan · ベストアンサー

やっぱり.
・4m<n^2<4m+(a/√m)+b/m で a = 8, b = 9 のとき
と
・4m<=n^2<=4m+(8/√m)+9/m のとき
とでは全く違います. 等号の有無が決定的なこともあるので, そういうことをおろそかにしてはいけません.
あと, 「9<=mが言えません」というのは「9 <= m を証明したい (けどできない)」という意味であり, 「不等式は9<=mの場合を考えているので、9<=m使いました。」ということには絶対になりません. 助詞の「を」が抜けていることも併せて, 文章にももっと気を遣ってください.
で本題ですが, これは「よって、考えられるのは n^2=4m+1,4m+2,4m+3の3通り。」が出た時点で事実上終わっています. n は偶数であるか奇数であるかのいずれかなので, n^2 から攻めればいい. m が十分大きいと 4m<x<4m+(8/√m)+9/m であるような整数x そのものが存在しないこともあるが, そのような場合は気にしなくていい.

お礼

回答ありがとうございます。
質問文が紛らわしくないよう気をつけたいと思います。
整数の２乗は、4m+1の形になるということですね。
このことに気が付きませんでした。

回答No.2

koko_u_u

＞これをチェックするのは大変

そうでもないと思いますけど。

お礼

ありがとうございます。
２乗の形からですね。
気が付きませんでした。

回答No.1

Tacosan

これは問題そのものがおかしいです. 本当にそう書いてあるのですか?
で, そもそもからしておかしいので以下は蛇足:
なぜ「9<=m を言おう」と思ったのですか? そして, 本当にそれを示そうと思ったのなら, なぜ (最終的に示さねばならない) 「9<=m」を前提に話をしているのですか?

お礼

回答ありがとうございます。
問題文は
正の定数a,bに対して、
4m<n^2<4m+(a/√m)+b/m
を考える。
a=8,b=9,m>=9であるときは、上の不等式をみたす整数
m,nの組はn^2=4m+1をみたすことを証明せよ。
となります。
不等式は9<=mの場合を考えているので、9<=m使いました。
今この質問に答えていて気づきましたが、
もし、mが存在するなら、9<=m<81としていいのでしようか。
次にまた解答でうまくいかないのは、n^2=4m+2のときは、9<=m<25となり、
mが存在するかもしれない。これをチェックするのは大変。
どうしたらいいのか。