n＞mで、n!/m!≧(m+1)^(n-m)を示せ

質問

この証明問題を教えていただけないでしょうか？

n＞mで

n!/m!≧(m+1)^(n-m)を示せ。という問題です。

よろしくお願いいたします。

回答No.2

gamma1854 · ベストアンサー

数学的帰納法にて次を示してください。(n-m=kとしています)
(m+k)!/m!≧(m+1)^k, (m: 正整数の定数、k: 任意の自然数) ..... (*)
1) k=1 のとき、等号が成立。
2) k=n(自然数)のとき(*)が成立すると仮定します。このとき、k=n+1を考えます。
(m+n+1)!/m! - (m+1)^(n+1)
={(m+n)!/m!}*(m+n+1) - (m+1)^(n+1)
≧(m+1)^(n+1) * (n - 1).
------------
以上です。整理してください。

お礼

お礼をさせて頂きます。ご回答してくださった方ありがとうございました。感謝申し上げます。！

回答No.1

info33

n!/m!=n(n-1) ・・・(m+1)m(m-1)・・・ 2・1 / m!
=n(n-1) ・・・(m+1) ... (n-m)の項積

すべての項が ≧m+1 (≧1) なので

≧(m+1)(m+1)・・・(m+1) ... (n-m)の項積
=(m+1)^(n-m)

∴ n!/m!≧(m+1)^(n-m)