2つの2次方程式が1つの解を共有する条件

質問

2つの2次方程式が1つの解を共有する条件

2つの方程式ax^2+bx+0=0とAx^2+Bx+C=0が1つの解を共有する条件は、
(aC-Ac)^2=(aB-Ab)(bC-Bc)
と公式集に書いてあったのですが、どう示せばよいのでしょうか?

回答No.5

Tacosan

質問者の学年によるところもあるけど「終結式」がある意味「最強」とも言えるのでは＞#4.
この条件が出てくることは確認済み.

お礼

ありがとうございます。
終結式は、
det((a,b,c,0),(0,a,b,c),(A,B,C,0),(0,A,B,C))=0
ですが、それを
(aC-Ac)^2=(aB-Ab)(bC-Bc)
に変形するには少し計算がいると思います。
それをもっとうまく導けるように、できれば暗算で納得したいという願望があります。

別の見方として、(aC-Ac)^2=(aB-Ab)(bC-Bc)
はベクトルの外積とか行列式とか判別式に形が似ています。
2次方程式ax^2+bx+c=0を2次元射影平面上の点(a:b:c)とみなして、方程式と点との間の幾何学的な関連を見つけ出すことで、計算することなしに、(aC-Ac)^2=(aB-Ab)(bC-Bc)を納得できればそれが「最強」と思います。
もしくは、2次方程式ax^2+bx+c=0を同次化して2次曲線ax^2+bxy+cy^2=0とみなし、方程式と2次曲線との間の幾何学的な関連を見つけ出すことで、計算することなしに、(aC-Ac)^2=(aB-Ab)(bC-Bc)を納得できればそれが「最強」と思います。

補足

いつもお世話になります。
終結式が代数的な解法だとすると、外積を使った幾何学的な解法を思いついたのでお知らせします。

2つの方程式ax^2+bx+c=0とAx^2+Bx+C=0が1つの解を共有する
⇔
あるsが存在して、as^2+bs+c=0かつAs^2+Bs+C=0
⇔
ある等比数列ベクトル(1,s,s^2)が存在して、(c,b,a)・(1,s,s^2)=0かつ(C,B,A)・(1,s,s^2)=0
⇔
ある等比数列ベクトル(1,s,s^2)が存在して、(c,b,a)×(C,B,A)//(1,s,s^2)
⇔
ある等比数列ベクトル(1,s,s^2)が存在して、(bA-Ba,aC-Ac,cB-Cb)//(1,s,s^2)
⇔
(bA-Ba,aC-Ac,cB-Cb)が等比数列ベクトル
⇔
(aC-Ac)^2=(bA-Ba)(cB-Cb)