【簡単だと思いますが】円の体積、表面積の公式。

質問

【簡単だと思いますが】円の体積、表面積の公式。
確か体積は３分の４πｒ＾３で、表面積は４πｒ＾２ですよね。

どうしてそうなんでしょうか？

私には小学校レベルの知識しかないのです。
その通り、云ってしまうと中１だということですが・・・。
優しく教えてくださる方、いますでしょうか？

教えてください！！

私死んでも良いので・・・。

教えてくださぁい！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

回答No.2

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

高校の２～３年で習う微分（びぶん）、積分（せきぶん）、三角関数（さんかくかんすう）の知識が必要です。
以下は、過去にある質問に対して私が書いた回答の一部を抜粋・再編集したものです。
イメージがわかりやすいように地球儀にたとえて、普通の数学の本などとは一味違った説明をしています。

これでも難しく感じるかもしれませんが、意味がわからなくても何となくイメージが湧けば、一歩前に進めたことになります。

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私は文献等を参照にしていませんし、数学もあまり得意でないですが、学生の頃から個人的に考えていたことに基づいて書きます。

地球儀で考えるとよいですが、三次元は極座標は（ｒ，θ，φ）で表せます。
ｒ（あーる）は中心からの距離、θ（しーた）は緯度、φ（ふぁい）は経度です。

このとき重要な事実は、
「半径ｒ方向に対して、角度θとφの方向は常に垂直で、かつ、θとφも互いに垂直方向である」
ということです。

二次元で考えれば簡単です。半径に対して、円周に沿う方向は垂直ですよね？
（だから、円の面積は、底辺２πｒ、高さｒの三角形と同じ面積になるのです。円の「底辺」である円周と「高さ」である半径とは、常に垂直ですから。）

地表で見れば、
θが－９０度（南緯９０度）～＋９０度（北緯９０度）の範囲で動いた軌跡も、
φが－１８０度（西経１８０度）～＋１８０度（東経１８０度）の範囲で動いた軌跡も、
地球の中心から見れば、それは全て地表（球の表面）での動きですから、ｒ（半径方向）に対して垂直です。

球の表面積は、４πｒ^2　だとわかっているとすると、
球の体積は、半径ゼロから半径ｒまでの薄皮の球の表面積の集合ですから、
∫４πｒ^2・ｄｒ　＝　３分の４　×　πｒ^3
となります。
つまり、表面積が既知であれば、球の体積は簡単に求まります。

ですから、先に球の表面積を求めるのが重要になります。

θとφの取るべき範囲は上述したとおりですが、度の単位をラジアンに書き直しますと

θの範囲：－９０度～９０度　→　－π／２～＋π／２
φの範囲：－１８０度～＋１８０度→　－π～＋π

θ（緯度）を固定して考えますと、φを－π～＋πの範囲で振れば、φの軌跡は円になります。
その、一つの円の半径は、ｒ・cosθ
したがって、一つの円周は、２πｒ・cosθ　です。
球の表面は「一つの円周」の集合体ですから、
この円周を、θ＝－π／２～＋π／２　の範囲で積分すれば、球の表面積になるはずです。
円周の太さは、微小なθ幅ｒｄθです。

表面積を求めるのですから、ｒは固定です。

∫２πｒcosθ・ｒｄθ　＝　２πｒ^2・∫cosθ・ｄθ
　＝　２πｒ^2［sinθ］
　＝　２πｒ^2・（１－（－１））
　＝　４πｒ^2　＝　球の表面積

表面積が　４πｒ^2　だとわかったので、上に書いたとおり、体積は　４／３・πｒ^3　です。

お礼

地球儀ですね、
例えが良くって分かりました！！

読み方なども上手に丁寧に書いてあり、分かりました。

有難うございました！

回答No.5

oo14

すみません
明らかな間違いが。球の体積は、
「身の上心配あーるの惨状」でした。
体積ですもんね。
なんせ、計算尺世代。
オーダーさえあっておれば、
アポロ１３号ではないですが
計算尺だけで月から帰ってくる指示が出せる世代。
人生オーダーです。２ケタ半です。
面積か体積かは結果でおかしいと気がつく世代
以上いいわけでした。
ごめんなさい。

お礼

ユニークな回答、笑い転げてしまいました。

面白すぎて、
私も変になってしまいそうでした。

なんか
有難うございます！

回答No.4

sanori

３度目。お邪魔します。
「微分（びぶん）、積分（せきぶん）、三角関数（さんかくかんすう）」
などという、いかつい用語でうんざりしたかもしれません。
ところが、身の回りで目にするすべての現象は、微分、積分と関係します。

わかりやすい例だと、
自動車の運転免許を取るときの筆記試験で、
ブレーキを踏んでから止まるまでの距離というのは、
ブレーキを踏む前の速さが２倍になれば止まるまでの距離は４倍になり、
ブレーキを踏む前の速さが３倍になれば止まるまでの距離は９倍になる、
ということが出題されますが、
これも、微分・積分を知っていれば簡単にわかります。

それから、
三角関数は、単純なところでは、打ち上げ花火の光と音のずれが何秒かと、何度の角度に見えるかということから、打ち上がった高さを計算することができます。
工業高校の電気科では電気回路の計算を習いますが、知らず知らずのうちに三角関数と微分・積分を利用することになります。

以上、余談でした。

お礼

３度目ですか。。。
根気が要りますね、

根気（？）ですかね？
いいや、そうじゃないかもしれないですが・・・。
やっぱり、微分・積分・三角関数は大切みたいですね。

重要ポイントが分かりました！

色々有難うございました！！

回答No.3

sanori

Ｎｏ．２の回答者です。
題目が「円の体積、表面積の公式」となっていますが、
正しくは「球の体積、表面積の公式」ですよね？
そうでないと、
「体積は３分の４πｒ＾３で、表面積は４πｒ＾２」
にならないので。

しかし、前の回答で円の面積にも触れていますけどね。

お礼

あ、そうですね、
球と円では何か違いますね。
２次元と３次元の違いですね。

はい、分かりました。

有難うございました！

回答No.1

oo14

積分とかできればわかります。
いってみれば大人になったらわかるよ。
ではなく、思春期まっただなかになってら
教えてくれる人が現れるし、それまでの知識を総合すれば
理解できます。
（ちなみに理解できなければ大学は諦めたほうが。）
それまでは、「身の上心配アールの事情」とか
「心配アールの二乗」とかを繰り返し唱えることです。
「なむあみだぶつ」と唱える以上の御利益があります。
なんせ、３０歳ぐらいで、この回答ができる人って
理系大卒でもきわめて少数です。（経験的に）

お礼

えええ、
理系大卒でも答えれる人が少ないなんて・・。

ビックリしました、
－
諦めるって・・・。

理解しないわけないですよ（怒←？）。
もう・・・。
↑怒ってません。有難うございます！！