初期値問題がわからないので回答お願いします。

質問

初期値問題がわからないので回答お願いします。

以下の初期値問題を解きたくていろいろと調べたのですがわからなかったので助けてください。

d^2y/dx^2 + dy/dx -3y = sinx

y(0) = -2 , dy/dx(0) =0

よろしくお願いします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

非斉次線型微分方程式の解は、それの 1 個の特殊解と、
もとの方程式の定数項を 0 に変えて斉次化したものの一般解との和
で表されます。

質問の d^2y/dx^2 + dy/dx - 3y = sin x で言えば、
d^2y/dx^2 + dy/dx - 3y = sin x を満たすような y を 1 個見つけて y0 とし、
斉次方程式 d^2y/dx^2 + dy/dx - 3y = 0 の一般解を y = (c1)y1 + (c2)y2 とすれば、
d^2y/dx^2 + dy/dx - 3y = sin x の一般解は y = y0 + (c1)y1 + (c2)y2 です。
このことは、
d^2y/dx^2 + dy/dx - 3y = sin x と d^2y0/dx^2 + dy0/dx - 3y0 = sin x の
辺々を引き算して、d^2(y-y0)/dx^2 + d(y-y0)/dx - 3(y-y0) = 0 となるのを見れば
確認できますね。

さて、y0, y1, y2 を求めましょう。

まず、y0 ですが、
右辺に sin x が現われていること、sin x, cos x が何度か微分すれば元に戻ること
などから発想して、ヤマカンで、y = A sin x + B cos x という解があるかもな…と
見当をつけます。
それを方程式に代入して、整理すると、(A - 4B)cos x = (1 + 4A + B)sin x。
A - 4B = 1 + 4A + B = 0 すなわち A = -4/17, B = -1/17 であれば、成り立ちます。
よって、特殊解 y0(x) = (-4/17)sin x + (-1/17)cos x を見つけることができました。

特殊解を見つけるときは、とにかく何でもいいから 1 個見つければよいので、
カンに頼ったり、十分条件を代入したりして構いません。

次に、y1, y2 です。これらは、d^2y/dx^2 + dy/dx - 3y = 0 の解ですが、
このような方程式を、定係数斉次線型微分方程式と言います。
その解法は確立していて、手順どおりに処理できます。

微分方程式の d^ny/dx^n を λ^n で置き換えて、もとの方程式の「特性方程式」を作り、
その解 λ によって、y = e^(λx) とすればよい。
特性方程式に重根があると少し面倒な話が出てきますが、今回の問題は単根だけなので、
λ^2 + λ - 3λ = 0 の解 λ = (-1±√13)/2 によって、
y1(x) = e^{x(-1+√13)/2}, y2(x) = e^{x(-1-√13)/2} とすればよいだけです。

以上より、一般解が
y(x) = (-4/17)sin x + (-1/17)cos x + (c1)e^{x(-1+√13)/2} + (c2)e^{x(-1-√13)/2}
と求まりました。

あとは、初期条件に一般解を代入し、現われる方程式を解いて c1, c2 を求めればよい。
連立一次方程式を解くだけですから、No.1 のようにすればよいでしょう。

お礼

回答ありがとうございました。
調べた結果aliceさんと同じようなことは書いてあっても
説明だけで実例がなかったので、理解できなかったのですが
丁寧な説明と一緒に解いてくださったおかげで理解できました。
早速同じような問題で練習したいと思います。

回答No.1

info22_

d^2y/dx^2 + dy/dx -3y = sin(x)
の一般解（次式）は解けることを前提に初期値問題を解いてみます。

y(x) = c1 e^(-(1+√13) x/2)+c2 e^((-1+√13) x/2)-{4sin(x)+cos(x)}/17 …(※)

y'(x) =-(1+√13)(c1/2)*e^(-(1+√13)x/2) +(-1+√13)(c2/2)e^((-1+√13)x/2)
+{sin(x)-4cos(x)}/17

t=0とおいて　y(0) = -2 , dy/dx(0) =0 なので

　c1+c2=-33/17
(-1+√13)(c2/2)-(1+√13)(c1/2)=4/17

c1,c2の連立方程式とみなして解けば

　c1=(-429+25√13)/442, c2=-(429+25√13)/442

これを(※)のy=y(x)の式に代入すれば

y={(-25√13-429)/442}e^((√13-1)x/2)+{(25√13-429)/442}e^(-(√13+1)x/2)
-(4sin(x)+cos(x))/17

お礼

回答ありがとうございました。