- ベストアンサー
初期値問題でのしつもんです。
初期値問題でのしつもんです。 問)d^2y/dx^2 + 4 dy/dx + 4y = 0 y(0) = -1 dy/dx(0) = 3 特性方程式の解は λ = -2 y = c1*e^(-2x) c2*e(-2x) y(0) = c1 + c2 = -1 dy/dx(0) = -2c1 -2c2 = 3 c1 = c2 =0 ? となってしまいました。 当方初心者でどこが分かっていないのさえも分かっていない状態ですので お手数ですが丁寧な回答おねがいします。
- mottyomettyo
- お礼率55% (20/36)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数2
- みんなの回答 (2)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
特性方程式が2次方程式で重解λ=-2(重解)を持つ場合の一般解は y=(c1+c2 x)e^(-2x) となります。 y'=(c2-2c1-2c2 x)e^(-2x) 初期条件を入れて c1=0 c2-2c1=3 これを解けば c1=0, c2=3 ∴y=3x e^(-2x) 【ポイント】特性方程式が重解を持つ時の2階線形微分方程式の一般解がどうなるかを教科書や参考書で確認しておいて下さい。
その他の回答 (1)
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
一般解の置き方を間違えています. c1 e^(^2x) + c2 e^(-2x) = (c1+c2) e^(-2x) ですから, 任意定数が 1つ足りません.
関連するQ&A
- 初期値問題についての質問です
初期値問題についての質問です d^2y/dx^2 + 2dy/dx + 2y = x + e^(-x) y(0) = 0,dy/dx(0) = 0 という問題についてです。 y = y0 + c1y1 + c2y2 とし特性方程式で λ^2 + 2λ + 2 = 0 と考え y1 = (e^x) cosx, y2 = (e^x) sinx とy1,y2は答えを得ることができました。 しかしy0を y0 = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D + e^(-x) として考えたのですが うまく解がでず、他にもいくつか試してみましたがおかしな答えばかり出ました。 この場合y0を何とおき考えたらよいのでしょうか? 回答お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 再び微分方程式の質問(2)です。
全くわからず手が付けられません。ご回答よろしくお願いいたします。 微分方程式 y’+2y(2乗)-2y=0 について問1~問3について答えよ。 問1 問題の微分方程式は変数分離型である。変数を分離した積分として、次の(1)~(4)の中から正解を選べ。正解がないときは(5)を選べ。 (1) ∫1/y(y-1)dy=∫2dx (2) ∫1/y(1-y)dy=∫2dx (3) ∫1/y(y+1)dy=∫2dx (4) ∫1/y(y-1)dy=∫1/2dx (5) (1)~(4)に正解はない。 問2 問題の微分方程式の解として、次の(1)~(4)の中から正解を選べ。正解がないときは(5)を選べ。 (1) 一般解y=1±√1-Ce(2x乗)/2 (Cは任意定数) (2) 一般解y=Ce(2x乗)/1+Ce(2x乗) (Cは任意定数) (3) 一般解y=Ce(2x乗)/1+Ce(2x乗) (Cは任意定数)と特異解y=1 (4) 一般解y=Ce(2x乗)/1+Ce(2x乗) (Cは任意定数)と特異解y=0 (5) (1)~(4)に正解はない。 問3 問題の微分方程式の解y=y(x)で、y(0)=1/2をみたすものがy(x)=2/3となるxとして次の(1)~(4)の中から正解を選べ。正解がないときは(5)を選べ。 (1) 1/2log2 (2) 3/2 (3) log6 (4) 1/6 (5) (1)~(4)に正解はない。 以上、よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 常微分方程式の一般解についての質問です。
常微分方程式の一般解についての質問です。 d^2y/dx^2+(dy/dx)^2+4*x*dy/dx+(2x)^2+2=0 の一般解を求める問題なんですが、y=exp(λx)とおくと、 (dy/dx)^2の項だけexp(λx)が残ってしまい特性方程式が立てられません。 こういった問題は、何か他のやり方があるのでしょうか?? この問題は解答がなく、参考書などで調べたのですが、この類の問題が載ってなかったので、 やり方を教えていただけるとありがたいです。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 非線形微分方程式の問題について
微分方程式の問題について質問させていただきます。 [問題] 以下の微分方程式を解け。 dy/dx(dy/dx-y)=x(x-y) ただし、x=0のときy=0とする。 非線形なのでp=dy/dxとおいて、解いたのですが、解として (1) y = 1 + x - e^-x (2) y = (1/2)x^2 の二つが出てきました。しかし、(1)の方は微分して与式に代入しても、 式を満たさなかったのでですが、これらの解は合っているでしょうか? おそらく、(1)は間違っていると思うのですが、p=dy/dxとおいて解くと、なぜかこのような解が出てきてしまいました。 回答よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 初期条件のない微分方程式
d^2y/dx^2 - 5dy/dx+6y=x^2 これの一般解を求めよ。特解はy=ax^2+bx+c (a、b、c)定数の形である。 このような問題を聞かれたのですが 「初期値」とか「条件」って(条件:x=0のとき、y=1, dy/dx=1 など)なくても解けるんですか? はじめて見たので「え!?」ってなってる形なんですけど どなたか解き方を教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式の演算子法
dy/dx=Dy,d^2y/dx^2=D^2y Dを演算子とします。 (2D^2+2D+3)y=x^2+2x 解:exp^(-1/2x){Asin(√5/2)x+Bcos(√5/2)x}+1/3x^2+2/9x-16/27 の特殊解の求め方がわかりません。 特性方程式が因数分解できない(複素数になる)と、 公式に当てはめられず解けなくなってしまいます。 どなたか教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式の問題(4問)がわからないので教えていた
微分方程式の問題(4問)がわからないので教えていただきたいです。できれば途中式、解説などもお願いいたします 【1】、【2】微分方程式の一般解を求めよ 【1】 dy/dx+(x-2)/y=0 【2】 dy/dx+1/x*y(x)=e^2x 【3】、【4】微分方程式を求めよ 【3】 d^2y/dt^2 + dy/dt - 2y(t) = sin t 【y(0)=0、 y'(0)=0】 【4】 dq(t)/dt + q(t)/RC = sin 2t 【q(0)=0】
- 締切済み
- 数学・算数
- 微分方程式、特性多項式、特性根、基本階、特殊解
次の問題のやり方がわからなくて困っています。 次の微分方程式を特性多項式、特性根、基本階、特殊解を求めて解け。 (d^2y/dx^2)-(5dy/dx)+6y=3e^3x わかる方ぜひ解答お願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 微分方程式、特性多項式、特性根、基本階、特殊解
次の問題のやり方がわからなくて困っています。 次の微分方程式を特性多項式、特性根、基本階、特殊解を求めて解け。 (d^2y/dx^2)-(5dy/dx)+6y=2e^4x y(0)=1,y'(0)=2 わかる方ぜひ解答お願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
丁寧な解答だけでなく親切なポイントまで教えてくださって ありがとうございました。