力学の問題です。

質問

力学の問題です。

四辺の細い棒からなる正方形を重心周りに回転させた時、
どの軸周りに回転させた時、慣性モーメントが最も小さくなるんでしょうか？？

という問題なんですが、
正方形の対角線を回転軸とする場合はわかったんですが、
理由がわかりません＞＜
教えてください。お願いします！

回答No.1

Anti-Giants · ベストアンサー

テキトーに計算してみました

慣性モーメントの定義 int r^2 dm
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%85%A3%E6%80%A7%E3%83%A2%E3%83%BC%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88

　密度が等しい場合、回転モーメントは、軸からの距離の（連続）和となる。
　回転軸が、正方形の面と平行ではない場合、その軸を正方形と平行になるように倒す（射影する）方が慣性モーメントは小さくなる。したがって、最小となるなら、その軸は、正方形の辺と重心を通る。つまり、xy平面の問題になる。

　(1,1), (1,-1), (-1,-1), (1,-1)を頂点とする正方形を考える。
　対称性から、軸の傾きは 0≦ θ ≦ π/4 に制限してもよい。
　距離の和も、対称性から、 隣り合う二辺との距離のみ計算すればよい。
軸の方程式を cos(θ)y - sin(θ)x = 0 とする
点(x,y)と軸との距離は、|cos(θ)y - sin(θ)x|
(「垂線の長さ」などで検索してね）

cos(θ) = c, sin(θ) = s, tan(θ) = t と略記
制限より、0 ≦ s ≦ c < 1/root{2}

(1,-1)と(1,1)とを結ぶ直線上の点と軸との距離の和は
(#1)int[-1,1]|cy - sx|dx
= int[-1,1]|cy - s|dx
= int[-1,t](s-cy)dy + int[t,1](cy-s)dy
= st + s - c(t^2 - 1)/2 + c(1 - t^2)/2 -s + st
= c - st

(1,1)と(-1,1)とを結ぶ直線上の点と軸との距離の和は
(#2)int[-1,1]|cy - sx|dx = int[-1,1](c - sx)dx = 2c

(#1)+(#2) = c - s^2/c + 2c = c - 1/c + c + 2c = 4c - 1/c
cについて微分すると、4 + 1/c^2 > 0
よって、cの範囲より、c = 1/root{2}で最小値
つまり、対角線を結ぶ軸が、慣性モーメントを最小にする。

お礼

ありがとうございます＾＾
分かりやすかったです。
自分でももう一回計算してみますね。