力学:半球の振動に関する質問です。
力学:半球の振動に関する質問です。
ちなみに、図において
r:半球の半径,m:半球の質量,c：半球の底面から重心までの距離,hθ:重心と、床と半球の接点との距離
です。
半球を、曲面を床に接した状態にして揺らした際の固有振動数を求めるという問題に関してです。
解答によると、系のラグランジアンを求めるか、「床と平行かつ床と半球の接点を通る軸」を回転中心として運動方程式を立てるとなっているのですが、後者の解き方に関して、疑問点があります。
いわゆる慣性項が、「床と平行かつ床と半球の接点を通る軸」に関する慣性モーメントIに、図のθの二階微分をかけたものになっているのですが、その理由がわかりません。なぜなのでしょうか？
感覚的には、図のhθとrの間の角度の二階微分をIにかけるべきのように思ってしまいます。
そもそも慣性モーメントは、「微小要素の質量に、基準となる軸からの距離の二乗を掛けたもの」を足し合わせたものと聞いてます。
そして私の理解では、この慣性モーメントと、基準となる軸からみた角加速度の掛け合わせが、大まかには
質量×軸からの距離×軸からの距離×角加速度
＝軸からの距離×質量×加速度
＝軸からの距離×力
となり、結局剛体にかかるモーメントを示しているのだと思っていました。
θは「底面の中心と、床と半球の接点をむすんだ直線」と「重心と底面の中心をむすんだ直線」との角であり、Iの基準軸である「床と平行かつ床と半球の接点を通る軸」からみた重心の動きとは関係がないように見えてしまいます。このため、Iとθの二階微分を掛け合わせるのは意味をなさず、図のhθとrの間の角度の二階微分をIにかけるべきというように私は考えてしまうのですが、なぜそうではないのでしょうか？
とにかく、Iとθの二階微分の掛け合わせが慣性項になる理由を教えてほしいです。
よろしくお願いします。
補足
なるほど。ありがとうございます＾＾ 理由も教えてもらえないですか？ お願いします！