xの変域が動く場合の最小値を求める問題について

質問

xの変域が動く場合の最小値を求める問題について
a≦x≦a+2における関数f(x)=x^2-2x+2の最小値を求める問題の解説でわからないところがあるので教えてください。
(1)a+2<1すなわちa<-1のときグラフの頂点は～・・・・
(2)a≦1かつ1≦a+2すなわち-1≦a≦1のときグラフの頂点は～・・・・
(3)1<aのときグラフの頂点は～・・・・
とあるんですがこの「a+2<1すなわちa<-1」、「a≦1かつ1≦a+2すなわち-1≦a≦1」などという数値はどういう基準で決めているのですか？よく理解できないでいます・・。
その点を説明していただけませんか？よろしくおねがいいたします。

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

y=f(x)=x^2-2x+2=(x-1)^2+1…(A)

この関数は下に凸の放物線で軸がx=1、最小値（頂点のy座標）がf(1)=1の放物線ですね。

ここまではお分かりですか？

この問題では　a≦x≦a+2　の範囲で考えるわけですが、
(A)の放物線は下に凸の放物線ですから、この範囲の右外側に対称軸がある場合
a+2 ＜ x=1
ですね。
これが(1)の場合の
「a+2<1すなわちa<-1」
です。
この場合の最小値は f(a+2)=(a+1)^2+1ですね。
図を描くと分かりやすいですよ。

次に、a≦x≦a+2　の範囲に頂点のx座標x=1(対称軸x=1)が含まれれば
最小値はf(1)=1になる事は分かりますか？
この場合の「放物線のグラフとa≦x≦a+2　の範囲」を図を描いてみると分かりやすいですよ。
この場合は
a≦x=1≦a+2
ですね。つまり
(2)の「a≦1かつ1≦a+2すなわち-1≦a≦1」
のことです。
分かりますか？

また、
a≦x≦a+2
の範囲の左外側に対称軸がある場合は　x=1<a　ですね。これが(3)の場合です。

【重要ポイント】各場合ごとに放物線のグラフの対称軸x=1と場合の範囲「a≦x≦a+2」を描くようにすることが大切です。

回答No.5

OKXavier

過去に、同様の質問がありました。
参考にして下さい。

参考URL：

http://qa.onlinegamer.jp/qa6014115.html

回答No.3

dolche0707

混乱したときは一度解答に必要な情報を自分で整理してみることをお勧めします。

まずは関数f(x)=x^2-2x+2のグラフを書いてみましょう。
xの値を変化させてもその関数に代入することに代わりはありませんから、グラフを見ながらの方がわかりやすいです。
念のため添付しておきます(曲線がいびつなのは見逃してください)。

グラフを書きますと、頂点が(1,1)で下に凸であることが伺えます。
つまりこの関数自体の最小値は1になりますので、a≦x≦a+2の間にx=1となる場所があればその中での関数の最小値は1に、そうでなければx=aまたはx=a+2のうち小さい方が最小値となります。
つまり、(1)と(3)は「a≦x≦a+2の間にx=1となる場所がない」という条件を満たすためのもので、逆に(2)は「a≦x≦a+2の間にx=1となる場所がある」という条件を満たすためのものなのです。

大雑把ですがこんなものでいかがでしょうか？
不明な点がございましたらまた追記してください。

回答No.2

f272

xに何も制限がなければf(x)は下に凸の放物線ですから，軸であるx=1のときに最小となります。
xに制限があってa≦x≦a+2となっている場合には，この範囲が軸のどちら側にあるかで場合分けをします。
(1)は範囲が軸よりも小さい側にあるとき，(2)は範囲が軸を含んでいるとき，(3)は範囲が軸よりも大きい側にあるときですね。

回答No.1

t-saizou

もとの関数を平方完成すると、
f(x)=(x-1)^2+1となります。
これによりこの関数のグラフの軸の方程式がx=1であることがわかります。
この関数は下に凸なので一般に、X=1で最小値１をとります。
　したがって今、X=1という値を取りうるかどうかを判断するために、
（１）～（３）の場合分けを行うわけです。

　※2次関数の最大値最小値を考える場合には与えられたXの変域が軸をまたぐかどうかで
　　　場合分けして考えることがポイントです。