命題について

質問

こんにちわ。
命題には真と偽の２種類があるのはわかるのですが、
たとえば
x＾2-1≧0
の場合どのようにあらわすのですか？

それから、
必要条件と十分条件と真理集合についてよくわかりません。
頭が混乱してよくわかりません。
どうやって区別すれば、苦手から克服できるでしょうか？

回答No.3

fushigichan · ベストアンサー

＃２です。
しまった。あれだけ書いておいて、必要条件、十分条件について
書いていませんでしたね。

ある命題ｐ→ｑがあるとき、

p（十分条件）→q（必要条件）

と覚えるといいです。
左から、十分、必要だ、と覚えましょう。

＃２の例でいうと、
「６の倍数」ならば「２の倍数」である。
という命題の
十分条件は、「６の倍数である」ですし
必要条件は、「２の倍数である」ということになります。

以上を考えると、
x^2-1≧0・・・（☆）
というのは、
(x-1)(x+1)≧0ですから
x≦-1,1≦x・・・（★）
という範囲でしか成り立ちません。
つまり、（☆）が成り立つための必要条件は
（★）であって、このとき、x^2-1≧0となりますから
十分条件でもあります。

すべての実数xについて（☆）が成り立つか？というと
成り立たないので、xをすべての実数とすると、この命題は偽ということになります。

回答No.5

he-goshite-

３．真理集合
「集合」というのはお分かりですね？
１＜ｘ＜２ならば（必ず）ｘ^2-１≧０である
という命題で考えてみます。
実数だけを考えると，
１＜ｘ＜２という条件を満たす実数ｘの全部（集合です）が
条件：１＜ｘ＜２ の真理集合　です。
くどいですが，
ｘ^2-１≧０という条件を満たす，実数の全体が
条件ｘ^2-１≧０の真理集合です。
「その条件が成り立つ範囲の値全部」というように理解すればいいでしょう。

回答No.4

he-goshite-

No.1の回答者です
少し間違いに気づきましたので訂正します。

No.2 No.3の回答者（fushigichan）がおっしゃるように，
命題とは，たとえば
ｘ＝２ならば（必ず）ｘ^2-１≧０である
という形の記述が命題です。
この命題が本当のことであることを「真」（あるいは「この命題は真である」）といいます。
この記述すなわち命題がウソであること，成立しないことをこの命題は偽である，といいます。
（上の例の命題は真ですね）

回答No.2

fushigichan

boku115さん、こんにちは。

命題についてです。
命題とは、ある条件p,qがあって
「pならばqである」というような文章があったとき
それを命題といいます。
たとえば、
p:日本人である
q:阪神ファンである
という条件があったとしましょう。
このとき、命題p→qは
「日本人ならば阪神ファンである」という命題になります。
これは、真ですか？そうじゃないですね。
日本人でも、巨人ファンもいるし、ヤクルトファンもいるし
野球そのものに興味がない人もいるでしょう。
このとき、巨人ファンの人は、この命題にあてはまらないので
そういうのを「反例」といいます。
反例が一つでもあると、その命題は成り立たない（偽である）
ということがいえます。

逆と裏と待遇についてですが、

ある命題
p→q(pならばqである)

というのがあったとして、これをひっくり返して
前後を逆にした命題

q→p(qならばpである)

というのを、その「逆」

p,q,をぞれぞれ否定したもの

￢p→￢q(notpならばnotqである)

これを、(p→q)の「裏」といいます。

￢q→￢p(not qならばnot pである)

というのを、もともとの(p→q)という命題の「待遇」といいます。

もともとの命題(p→q)と、その待遇をとった命題(￢q→￢p)
の真偽は一致します。
ですから、ある命題をそのまま証明することが難しいときには
その命題の待遇を証明する、という手法を使うことがよくあります。

さて、p,qという文字の条件では分かりにくいので例をあげます。

p:６の倍数である。
q:２で割り切れる（偶数である）

という条件があったとしましょう。
今、
p→qを考えてみましょう。
p:６の倍数である。→q:２で割り切れる（偶数である）
これは真でしょうか？
６の倍数ならば、必ず２の倍数にもなっていますから、これは真です。
p→qという命題は真だと分かります。

q:２で割り切れる（偶数である）→p:６の倍数である。
これは真でしょうか？
違いますね。２で割り切れるからといって、必ずしも６の倍数ではありません。
たとえば、４がそうです。
（このように成り立たない例を反例といいます）
p→qの逆のq→pは真でない、偽であると分かります。

また、
￢p:６の倍数でない。→￢q:２の倍数でない。
これは真でしょうか？
６の倍数でなくても、たとえば２とか４は２の倍数になっています。
ですから、これも偽です。
p→qの裏の￢p→￢qは偽だと分かります。

さて、待遇です。
￢q２の倍数でない。→￢p:６の倍数でない。
これは真でしょうか？
２の倍数でなければ、当然、６の倍数にはなりえません。よって真です。

p→qの待遇である￢q→￢pもまた真であり、真偽が一致することが分かります。

参考になればうれしいです。
なかなか分かりにくい単元なので、すぐには理解できないかも知れませんが
これを読んで、少しでも理解に近づけばと思います。
頑張ってください。

回答No.1

he-goshite-

１．真と偽
x＾2-1≧0　を例にとると，この式（つまりこの命題）が成り立っている場合（あるいは成り立っている状態）を「真」，成り立っていない場合を「偽」といいます。
ｘ＝２のときは，左辺＝2^2-1＝３≧０　ですから，
この式は成立。すなわちこの命題は「真」です。
ｘ＝０のときは，左辺＝0^2-1＝－１＜０ ですから，
元の式は成立しません。すなわちこの（x＾2-1≧0という）命題（の真理値）は「偽」となります。

２．必要条件／十分条件
ある命題が成立する（すなわち真である）ためにぜひとも必要な条件が必要条件です。
たとえば，
ｘ＝２　という命題が真であるためには，
どんなことがあっても
ｘ＞０　でなければなりませんね。
この場合，命題：ｘ＝２　に対して，
条件：ｘ＞０　を，必要条件といいます。
x＾2-1≧0 の例では，この式が成立する（この命題が真である）ためには
ｘ≠０　が必要条件（の一例）となります。
（ｘ＝０だと絶対にこの式は成立しないから）

十分条件とは，「その条件さえあればそれでいい」という条件です。
x＾2-1≧0　が成立するには，
ｘ＝３　や　ｘ＜－２　など
その場合なら命題が（必ず）成立するという条件です。

蛇足：
「必要十分条件」というのはなんだかもう分かりますね？