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熱力学の問題で困っています。
熱力学の問題で困っています。 dU=TdS-pdV ・・・(1)式 であるからVを一定とし、Tで微分すると (dU/dT)v=T(dS/dT)v ・・・ (2)式 となっています。 Vを一定とし、Tで微分とあるのになぜ、(dU/dT)v=T(dS/dT)v+dS ・・・(3)式 とならないのでしょうか? 確かにT=(dU/dS)v なら、T(dS/dT)v=(dU/dS)v・(dS/dT)v=(dU/dT)v となるので (2)式が正しいのは、後で分かるのですが、(1)式をTで微分の際にTdSのTが微分されない理由がわかりません。 よろしくお願いします。
- alpha357
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じゃあ、こう書いたら理解できますかね。 まったく同じことを別の書き方をしただけなんですけど。 f(x,y)の時間による全微分を考えます。 時間が変化すると、xもyも変化するので、 df/dt = (∂f/∂x)(dx/dt)+(∂f/∂y)(dy/dt) (∂f/∂x)も(∂f/∂y)も再度微分されることはありませんね。 一変数にすればもう少し分かりやすいでしょうか。 f=f(x(t))から df/dt = (df/dx)(dx/dt) これを df=(df/dx)dx と書いてから時間微分にすると、両辺を形式的にdtで割って df/dt = (df/dx)(dx/dt) と同じ式になります。 このとき、(df/dx)は一般には時間の関数ですが、 改めて時間で微分することはないですよね。
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- hitokotonusi
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f(x,y)という関数があったとき、(a,b)の周りでテーラー展開すると f(x,y) = f(a+dx, b+dy) = f(a,b) + (∂f(a,b)/∂x)dx + (∂f(a,b)/∂y)dy + O(dx^2, dy^2) df = f(a+dx,b+dy)-f(a,b)として、微小変化を考え二次以上を無視すると df(a,b) = (∂f(a,b)/∂x)dx + (∂f(a,b)/∂y)dy たとえば、このdx、dyの変化が時間変化によって生じたものだとすると、時間によるfの変化は df(a,b)/dt = (∂f(a,b)/∂x)(dx/dt) + (∂f(a,b)/∂y)(dy/dt) となり、(∂f(a,b)/∂x)や(∂f(a,b)/∂y)を時間で微分することはしませんね。 なぜなら、(∂f(a,b)/∂x)、(∂f(a,b)/∂y)は微分したあとで展開した位置のx、yの値(a,b)を代入して定数になっているからです。 質問の場合は f→U x→S y→V で、 T=∂U/∂S -p=∂U/∂V です。
補足
回答ありがとうございます。 一方、回答の方は、dUをdSとdVでテーラー展開して、dU=(dU/dS)vdS+(dU/dV)sdV から (1)式と比較して T=(dU/dS)v 、-p=(dU/dV)s としていますが、 質問の意味は、 dU=TdS-pdV ・・・(1)式 をVを一定とし、Tで微分すると (dU/dT)v=T(dS/dT)v+dS ・・・(3)式 とならないのかと言うことです。 UやSが温度Tの関数であるから、dU(T)=TdS(T)-pdV となっていると思いますが、 ここでV一定で、Tで微分したとき、(dU(T)/dT)v=T(dS(T)/dT)v+dS ・・・(3)式 となぜならないのでしょうか?
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