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周波数畳込積分が時間関数の掛け算になることを証明せよ
周波数畳込積分が時間関数の掛け算になることを証明せよ という質問ですが、どうやって証明するのがさっぱり... だれか助けていただけるとすごくありがたいです！！
- crystal888
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時間関数f1(t),f2(t)のフーリエ変換をそれぞれF1(ω),F2(ω)とすると、 f1(t)f2(t) ←→ (1/2π)F1(ω)*F2(ω) ……(1) が成り立ちます。→がフーリエ変換、←が逆フーリエ変換です。 [証明] F(ω)=∫[-∞→∞]f(t)e^(-jωt)dt f(t)=(1/2π)∫[-∞→∞]F(ω)e^(jωt)dω より、式(1)の左辺のフーリエ変換は ∫[-∞→∞]f1(t)f2(t)e^(-jωt)dt =∫[-∞→∞]{(1/2π)∫[-∞→∞]F1(y)e^(jyt)dy}f2(t)e^(-jωt)dt =(1/2π)∫[-∞→∞]F1(y){∫[-∞→∞]f2(t)e^(-j(ω-y)t)dt}dy =(1/2π)∫[-∞→∞]F1(y)F2(ω-y)dy =(1/2π)F1(ω)*F2(ω)
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お礼
ありがとうございます。本当に助かりました。