導関数の可積分性

質問

fをC^2級の函数とします。つまり二階導関数まで存在してそれは連続。
さらにfとf"はともに可積分(ルベーグ可積分)とします。
このときf'も可積分になることは示されるものなのでしょうか？
容易に出来る気もするのですが、混乱してできません。
もし万が一反例があるのなら、それを教えて頂きたいです。

あとこれだけの主張でも証明できるような気はするのですが、
fおよび、f"がともに有界(したがってf'も有界になりますが)
という付加条件をつける必要があるのならそうしていただけるとありがたいです。
とにかくf'の可積分性がどうしてもいいたいです。

回答No.5

keyguy

修正します。

狭義リーマン積分可能ならばルベーグ積分可能であるが
広義リーマン積分可能であってもルベーグ積分可能とは限らないということですね。
これは認めざるを得ない。
（ルベーグ積分の数少ない欠陥ですね。）

しかし
∫（ｒ＜ｘ＜Ｒ）ｆ’（ｘ）ｄｘ＝ｆ（Ｒ）－ｒ（ｒ）
なのだから
ｆ’（ｘ）が広義リーマン積分可能ならば
ｆ（±∞）が確定しなければ
ｆ（∞）－ｆ（－∞）も確定しないのでｏｕｔでは？
（広義リーマン積分はコーシーの主値ではない。）

補足

少しややこしい書き方をしますが、f(x)を次の函数とします。すなわちn=±2,±3,…として、|x-n|<1/n^3であるときf(x)=|n|-n^4|x-n|、それ以外の時はf(x)=0とおきます。これは連続函数で、x=±2,±3,…のところに底辺が2/|n^3|で高さが|n|の三角形が並んでいる感じの函数です。作り方から有界ではありません。各三角形の面積は底辺が2/|n^3|で高さが|n|なのだから面積は1/n^2。Σ_{|n|≧2}1/n^2は有限ですから、f(x)はR全体で可積分になります。そこでこのf(x)の導関数を取ります。f(x)はC^1級ではなく微分できない点(x=n,n±1/|n^3|なる点)がありますが、その辺は適当に滑らかに修正するとしてご愛嬌。こうするとf'(x)の原始函数がf(x)で、しかもf(x)に極限が存在するのだから、そもそもf'(x)は広義リーマン可積ではないということになります。さらにf''(x)は可算個の点を除いて0になりますから結局f''(x)は可積分です。ということはf:可積分、f':可積分でない、f'':可積分という例になっています。fに有界かつC^2可積分、f''有界可積分という条件を置いたとき、やはりf'が可積分にならない、などという例があるのかというのが当初からの疑問なんです。

keyguyさんのおっしゃるf'(x)が広義リーマン可積ならf(∞)およびf(-∞)が有限確定、したがってf(∞)-f(-∞)も有限確定でそれがR上の積分値に一致するというのは間違いなく正しいことだと思います。だから対偶をとってf(±∞)が定まらない限りf'(x)は広義リーマン可積にならず、したがってそれが僕が最初に提示した問題の反例を与える、ということになりそうですが、周知のとおり広義可積分とルベーグ可積は必要でも十分でもない関係にありますから、この判定条件だけからf'(x)の非可積分性[Lebesgueの意味で]を言うことはやはりできません。

回答No.4

keyguy

「広義」の意味がよくわかりません。:

高木貞治の「解析概論」は持っていないのですか？
∫（ｒ＜ｘ＜Ｒ）ｄｘ・ｆ’（ｘ） ＝ｆ（Ｒ）－ｆ（ｒ）
は確実に成立するのだからこれが
ｒ→－∞かつＲ→∞で収束すればいいのです。
（これが広義積分）
ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ（ｘ）とすると
ｆ（＋∞）もｆ（－∞）も存在しないので
ｆ（＋∞）もｆ（－∞）も使うことができずに
｜ｆ（±∞）｜＜∞と書くことはできない。
｜ｆ（±∞）｜＜∞と書いた以上
ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ（ｘ）はこの条件を満たさないので反例としては不適です。

これは定義の問題なのでもし不満ならば
「｜ｆ（±∞）｜＜∞」
は
「ｌｉｍ（ｘ→－∞）ｆ（ｘ）と
ｌｉｍ（ｘ→∞）ｆ（ｘ）が有限値に収束」
と言いかえてください。

もしこの条件が満たされなければ［ｒ，Ｒ］での積分値は
とにかくｆ（Ｒ）－ｆ（ｒ）なのでこの値は定まらず
ルベーグ積分とて定まらないことになります。
超関数まで拡張すればｆ（ｘ）＝１もｆ（ｘ）＝ｓｉｎ（ｘ）も積分できます。
もっと拡張する必要がありそうですね。

補足

すみません、やっとおっしゃっていることがわかってきました。ですが、やっぱり僕が議論したかったのはルベーグ可積分になるかどうかということです。f(x)のx→±∞での極限が有限確定であれば確かにリーマンの意味で広義可積分になりますが、とはいえルベーグ可積分になるわけではないですよね。典型的な例がf(x)=sinx/xという函数でしょう。x=0では便宜上f(0)=1と定義しておきます。これは明らかに有界で広義リーマン可積分ですがルベーグ可積でない例です。もちろん二階導関数まで連続に存在して、それらもやはり有界で広義リーマン可積になると思いますが（厳密に計算しておりませんが、両端に向かって減衰振動しておりますので間違いないと思います）、やはりルベーグ可積にならない。そこでfとf''に最初からルベーグ可積というやや強い条件を置いたときf'はルベーグ可積になるか、ということなのです。

あとf(x)の両端の極限が有限確定であることはf'が広義リーマン可積になるための必要条件にはならないような気がします。端の方に向かって細い突起が続いていくような例があるように思えます。L^1だけどL^2にならない函数の例とかでよく出される感じの函数みたいなもののことです。

回答No.3

keyguy

R全体で｜f'｜を積分したとき有界になるかということを問題にしております。：

ｆ’は連続でありｆはその１つの原始関数であるから
－∞＜ｒ＜Ｒ＜∞とすると微分積分学の基本定理により
（Ｒ）∫（ｒ＜ｘ＜Ｒ）ｄｘ・ｆ’（ｘ）
＝ｆ（Ｒ）－ｆ（ｒ）
である。
従って｜ｆ（±∞）｜＜∞であればｆ’は任意の区間で（広義）リーマン可積分であり、
ｆ’が（－∞，∞）で広義リーマン可積分であるためには｜ｆ（±∞）｜＜∞でなければならない。

補足

何度もありがとうございます。
とりあえず問題点：「任意の区間で（広義）リーマン可積分」での「広義」の意味がよくわかりません。有界区間での可積分性は自明で、（-∞,∞）での可積分性が問題です。あとfがたとえ有界でもf'がR上可積分になるとは限りません。たとえばsin_xなんかは何回でも微分できますが、広義積分は存在しない。というのもそもそもf(∞)やらf(-∞)が定義できない。なおかつ極限が存在しなくてもR上可積分になる例もあります。
というわけでリーマン積分の範疇で考えると相当にややこしいので、積分は常にルベーグ積分であるものと考えています。

回答No.2

hogehogelucy

連続性だけではダメなんでしたっけ？

補足

誤解を招いたようなので、少し補足させていただきます。そもそも可測なのは自明で、もちろん有限区間に限ればリーマン可積分なのも自明ですが、R全体で｜f'｜を積分したとき有界になるかということを問題にしております。もちろんこのときルベーグ可積分になって、広義リーマン積分と考えたときと値は一致します。たとえば定数函数y=1ですらR上可積分にはならないんですよね。（積分すると無限大になってしまう）

回答No.1

keyguy

f'は連続なのだからf'は任意の閉区間でリーマン積分可能だと思いますが。

補足

気になっているのはR上絶対可積分になるかということです。