hogehogelucyのプロフィール

『ｆをＲ^mの原点周りで定義されたＣ^∞関数とする。 このとき、 f(x1・・・xm)=f(0,0,・・・,0) +Σ(1～m)df/dx_i(0,・・・,0) +Σ(i,j=1～m)g_i,j(x_1,・・・,x_m)x_ix_jとかける。ここにg_i,j(x_1,・・・,x_m)がＣ^∞関数であることを示せ。』 という問題なんですけど、なぜ上の式のように書けるのかがまずわかりません・・・。なぜこのようにかけるのかをお願いします。

マイナスとマイナスをかけるとなぜプラスに・・・・・なるのでしょうか？！

ある(x,y)の集合を、次式のような関数にフィッティングしたい場合、係数a～fを算出する方法、アルゴリズムを教えてください。 z(x,y) = a + bx + cy + dxy + ex^2 + fy^2

上半球面P={(x,y,z)∈R~3|x~2+y~2+z~2=1,z≧０}で、E={(x,y,z)∈R~3|x~2+y~2+z~2=1,z=０}を赤道とする。このときPに関係　ｘ～－ｘ（∀ｘ∈E）で生成される同値関係”～”を考えて得られる商空間P/～が、２次元射影空間P~2と同相になることを示せ。 この問題なんですが、図では確かにどちらも同じ形になるので、同相になるんだろうとは思うんですが、その証明になると手が止まってしまうんです。方針としては、やはり同相写像が存在することを言えばいいのでしょうが、それをどのようにとればいいのか（全単射で逆像も連続なもの）がまったく思い浮かびません。 これは慣れとか経験から出てくるものなんでしょうか？だれか解法のヒントと、後者のコメントをお願いします。よろしくお願いします。

fをC^2級の函数とします。つまり二階導関数まで存在してそれは連続。 さらにfとf"はともに可積分(ルベーグ可積分)とします。 このときf'も可積分になることは示されるものなのでしょうか？ 容易に出来る気もするのですが、混乱してできません。 もし万が一反例があるのなら、それを教えて頂きたいです。 あとこれだけの主張でも証明できるような気はするのですが、 fおよび、f"がともに有界(したがってf'も有界になりますが) という付加条件をつける必要があるのならそうしていただけるとありがたいです。 とにかくf'の可積分性がどうしてもいいたいです。