数列についてです

質問

数列についてです
６Σkａ＝（４ｎ＋１）Σａ＋３を満たしているもので
１．（２ｎ－１）ａ＝４Σａ（ｎ≧２）を示し
２．数列{ａ}の一般項を求めよという問題ですが
どうすればよいでしょうか
解説等はなく２だけ答えわかっています
２．ａ１＝３　ｎ≧２のときａ＝（２ｎ＋１）４/５

回答No.2

aquatarku5 · ベストアンサー

ａの添え字やΣの範囲をちゃんと書かないとわかりませんよ。

6Σ{k=1～n}ka_k=(4n+1)Σ_{k=1～n}a_k+3　n>=1で成立　と
解釈しました。

１．
上式で(n+1)までとった式と、上式との差を取ると、
6(n+1)a_(n+1)
=(4n+5)Σ_{k=1～(n+1)}a_k－(4n+1)Σ_{k=1～n}a_k
=(4n+5)a_(n+1)+4Σ_{k=1～n}a_k

∴(2n+1)a_(n+1)=4Σ_{k=1～n}a_k　(n>=1)
すなわち、(2n-1)a_n=4Σ_{k=1～(n-1)}a_k　(n>=2)

２．
１．で得た式について、(n+1)までとった式との差を取ると、
(2n+1)a_(n+1)-(2n-1)a_n=4a_n
∴(2n+1)a_(n+1)=(2n+3)a_n　(n>=2)
すなわち、a_n=(2n+1)/(2n-1)・a_(n-1)　(n>=3)
したがって、
a_n=(2n+1)/(2n-1)・(2n-1)/(2n-3)・・・7/5・a_2
=(2n+1)/5・a_2　

一方、元の式より、
6a_1=5a_1+3　なので、a_1=3
6(a_1+2a_2)=9(a_1+a_2)+3　なのでa_2=(3a_1+3)/3=4

よって、
a_1=3
a_2=4
a_n=(2n+1)/5・4　(n>=3)　これはn=2も満たす。

以上より、
a_1=3
n>=2のとき、a_n=(2n+1)4/5

お礼

分かりやすかったです
ありがとうございます
ご指摘いただいたところは善処していきたいと思います