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不等式の問題です
springsideの回答
なかなか面倒な問題ですね。 うまい因数分解に気付くかどうか、にかかっているようです。 f(x)=x^2-(a^2+a-2)x+a^3+2a^2-4a-8 =x^2-(a+2)(a-1)x+a^3+2a^2-4a-8 (注:ここで、a^3+2a^2-4a-8がa+2かa-1で割り切れるのではないか、見当を付けると) =x^2-(a+2)(a-1)x+(a+2)^2(a-2) (注:ここで、この式がxの1次式同士に因数分解できるのではないか、と見当を付けると) ={x-(a+2)}{x-(a^2-4)} となる。 つまり、f(x)=0という方程式は、x=a+2,a^2-4という解を持つことがわかる。 (注:ここから先はy=f(x)の放物線のグラフとx軸との交点、さらに、aの数直線を書いてください) 1.a+2≦a^2-4のとき a+2≦a^2-4を解くと、「a≦-2,3≦a」である。 この時、4<x<6においてf(x)>0であるためには、 6≦a+2又はa^2-4≦4でなければならない。 つまり、「4≦a」又は「-2√2≦a≦2√2」である。 今、「a≦-2,3≦a」なので、結局、「-2√2≦a≦-2、4≦a」となる。 2.a^2-4<a+2のとき a^2-4<a+2を解くと、「-2<a<3」である。 この時、4<x<6においてf(x)>0であるためには、 6≦a^2-4又はa+2≦4でなければならない。 つまり、「a≦-√10,√10≦a」又は「a≦2」である・ 今、「-2<a<3」なので、結局、「-2<a≦2」となる。 以上の1.と2.を合わせて、答えは、「-2√2≦a≦2、4≦a」となる。
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