以下の問題が解けなくて困っています。よろしければ教えていただけないでし

質問

以下の問題が解けなくて困っています。よろしければ教えていただけないでしょうか

x>0について F(x)=∫(0→∞)e^(-xt)/tdt

(1)lim(x→∞)F(x)を求めよ
(2)F'(x)を求めよ
(3)lim（x→+0）F(x)を求めよ

(1)は｜sint｜<=1より
|e^(-xt)×sint/t|≦|e^(-xt)/t|
よって
∫{e^(-xt)×sint/t|dt≦∫|e^(-xt)/t}dt
ここで
lim(x→∞)∫|e^(-xt)/t}dt=0となり
よって、はなみうちの原理より
lim(x→∞)F(x)=0となるらしいんですが

lim(x→∞)∫｜e^(-xt)/t｜dt=0というのは
t>0かつx→∞のとき、-xt→-∞
よって、e^(-xt)→0
∴lim(x→∞)∫(0→∞)|e^(-xt)/t|dt=0
と説明されました。
これは∫とlimを交換して考えたということですよね
これは一様収束というものを満たしてないといけないんじゃないんでしょうか？
よろしくおねがいします。 m(_ _)m

回答No.2

alice_44

F(x) = ∫[0→∞]{ e^(-xt)/t }dt を u = xt (ただし x > 0) で置換積分すれば、
F(x) = ∫[0→∞]{ e^(-xt)/(xt) }xdt = ∫[0→∞]{ e^(-u)/u }du = F(1) に
ならんかね？ ということ。

補足

置換積分でできるとおもいませんでした。ちなみにF(1)とはどういう意味ですか？
ご迷惑おかけします・・・

回答No.1

alice_44

その F(x) は、定数関数じゃない？
u = xt.

補足

すいません。もう少し詳しく説明していただけないでしょうか
よろしくお願いいたします。 m(_ _)m