質問されましたが全くわかりません どなたか教えて下さい。

質問

円周率が3.11より大きい事を証明しなさい　と言う問題が有ります　私には手も足も出ません。
どなたか教えて下さい　宜しくお願いします。

回答No.3

fushigichan · ベストアンサー

minku2002さん、こんにちは。
これは、アルキメデスが正多角形の外周から、円周率を求めた方法で
３．１１よりも大きいことが証明できるかと思います。

以前にあったご質問で私も回答しておりますので、ご参照ください。

簡単に言いますと、まず最初に、半径１の円周と、
それに内接する正６角形を考えます。
すると、正６角形は、正三角形６つ分ですから
その外周は６ですね。

円周＝直径×Π

ですから
６＜２Π
となって、Πは３より大きいことが、まずはいえます。

この正６角形をさらに２等分ずつした正１２角形を考えます。
参考URLの計算のとおりに、ピタゴラスの定理だけで計算を進めていくと
√３≒１．７３とすると
２－√３≒０．２７
√(2-√3)≒０．５１９６
正１２角形の外周は
１２×０．５１９６＝６．２３５２
これが、直径×Πよりも小さいので
６．２３５２＜２Π
ゆえに
３．１１７６＜Π

という近似ができました。
ただし、√3≒１．７３としましたがこれを１．７３２とすると
３．１０６１＜Π
ですから、３．１１＜Π
を証明するには、さらに２等分して正２４角形の計算をしなければならないでしょう。

ご参考になればうれしいです。がんばってください。

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=565236

お礼

やっぱり難しい問題だったって事が　よく分かりました。
分からないながら少しずつ理解できてきましたfushigichanさんのお陰です　本当に有り難う御座いました。

回答No.4

graphaffine

minku2002さん、こんにちは。
はっきりいうと、
多角形を使って計算するのは効率が悪すぎるのでお勧めしません。
参考URLのMachinの公式を使った方がいいでしょう。
4{1/5 - 1/(3*5^3) + 1/(5*5^5) - 1/(7*5^7) + 1/(9*5^9) - …}
－{1/239 - 1/(3*239^3) + 1/(5*239^5) - 1/(7*239^7) + 1/(9*239^9) - …} ＝　π/4

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=298622

お礼

回答　有り難う御座いました。

回答No.2

arukamun

こんにちは

内接する正ｎ角形の面積＜円の面積＜外接する正ｎ角形の面積
ｎｒ＾２・sin(π／ｎ) ＜πｒ＾２＜ｎｒ＾２tan(π／ｎ)

内接する正ｎ角形の外周＜円周＜外接する正ｎ角形の外周
２ｎｒsin(π／ｎ) ＜２πｒ＜２ｎｒtan(π／ｎ)

今回の問題であれば、単位円に内接する正ｎ角形の外周を求めればよいでしょう。
（面積だと収束率が悪いですね。）

２ｎｒsin(π／ｎ) ＜２πｒ＜２ｎｒtan(π／ｎ)

とりあえず、２ｒは各項に含まれるので、取り除きます。

ｎsin(π／ｎ) ＜π＜ｎtan(π／ｎ)

例えば内接する正方形（ｎ＝４）では、外周は２√２≒２．８２になります。

ｎを大きくしていけば、πに限りなく近づいて行きます。

お礼

回答有り難う御座いました。
数学が得意な方が羨ましいです。

回答No.1

sheeps

確か東大の入試で似た問題がありました。
（ニュースで見ました）

円に内接する正八角形や正十二角形を作って、その外周
よりも円周のほうが長いことを利用して証明するとできる
（はず）・・・・

お礼

回答有り難う御座います　東大の入試問題では手も足も出ないのは当然でした。