（１）ab(a＋b)＋bc(b＋c)＋ca(c＋a)＋2abc

質問

（１）ab(a＋b)＋bc(b＋c)＋ca(c＋a)＋2abc
　　　=…(a＋b)(b＋c)(c＋a)

（２）a(b^2－c^2)＋b(c^2－a^2)＋c(a^2－b^2)
　　　=…(a－b)(b－c)(c－a)　　　　　　　　　　　と問題があり、

(1)は対称式であり、(2)は交代式であると説明がなされていて、
さらに、
　対称式は、a＋b、b＋c、c＋a　の１つが因数なら他の２つも因数
　交代式は、(a－b)(b－c)(c－a)　を因数にもつ。
と、説明がなされているのですが、なぜ、
　対称式は、～他の２つも因数
　交代式は、～を因数にもつ
のかが分かりません。誰か知られている方がおられましたら、教えて下さい！！

回答No.8

banakona

まず＃７での私の誤記を訂正。

誤：が正しい。もっとも「ａ－ｃ，ｂ－ｃ，ｃ－ａの一つを因数に持つなら
正：が正しい。もっとも「ａ－ｂ，ｂ－ｃ，ｃ－ａの一つを因数に持つなら

さて、本題。Ｐ（ａ，ｂ，ｃ）が交代式とすると、指摘漏れがありました。

＞また、与えられた対称式Ｐ（ａ，ｂ，ｃ）において、ｂとｃを入れ替えた交代式は、

ではなく「また、与えられた交代式Ｐ（ａ，ｂ，ｃ）において、ｂとｃを入れ替えると、」

とすべきです（2箇所訂正）。後半の訂正は要らない気もしますが気持ちが悪いので。

あと、Ｐ（ａ，ｂ，ｃ）＝（ａ－ｂ）Ｑ（ａ，ｂ，ｃ）　・・・★
が成立しているなら、ｂとｃを入れ替えると、
　　　Ｐ（ａ，ｃ、ｂ）＝（ａ－ｃ）Ｑ（ａ，ｃ、ｂ）　・・・☆
となる。これは、Ｐ（ａ，ｂ，ｃ）が交代式・対称式・どちらでもない　いずれの場合も★を前提としていれば成立する。

あなたの
＞－Ｐ（ａ，ｃ，ｂ）＝－（ａ－ｃ）Ｑ（ａ，ｃ、ｂ）
という式は、☆の両辺に－をつけただけなので、★が成立しているのなら、殆ど意味の無い式です。
ａ－ｃをｃ－ａにしたかったのかもしれませんが、因数の有無を示すだけなら、ｃ－ａでもａ－ｃでも同じことです。
★からいきなり「交代式なのでＰ（ａ，ｂ，ｃ）＝－Ｐ（ａ，ｃ，ｂ）　」とし、＝Ｐ（ａ，ｂ，ｃ）（ｃ－ａ）Ｑ（ａ，ｃ、ｂ）で十分です。

ここで＃６の指摘に戻ってしまうのですが・・・

そもそも本問題の後半（交代式の部分）では、「★を証明しろ」と言っていることに気をつけてください。
これに対し、前半（対称式の部分）では、「★が成立しているものとして～～を証明せよ」と言っている。だから私は★の証明をしていません。第一、できませんし。例えばＰ（ａ、ｂ、ｃ）＝ａ＋ｂ＋ｃという対称式は、ａ＋ｂを因数に持たないのですから。