大学の初等力学の問題です。

質問

大学の初等力学の問題です。

リンク先のpdfファイル内の問題をよろしくおねがいします。
回答は１つだけでも構いません。

http://frontier.phys.kyushu-u.ac.jp/kawai/riki22-5-31/

回答No.2

spring135

No.1です。
（2-3）の問題ですね。これは（2-1）よりも簡単です。基礎方程式は
mdv/dt=cv^2
変数分離できるので
　　dv/v^2=(c/m)dt
積分して
　　　-1/v=(c/m)t+C1
t=0でv=v0よりC1=-1/v0
整理して
　　　v=-m/c/(t-(m/c)/v0)
m/cは長さの次元を有する。これをaとおく。
(m/c)/v0は時間の次元を有する。これをt0とおくと
　　　v=-a/(t-t0)=dx/dt
t-t0=uとおく。dt=duである。よって
　　　dx/du=-a/u
変数分離して積分して
　　logu=-x/a+C2
u=C3e^(-x/a)=t-t0
t=0でx=x0よりC3=-t0e^(x/a)
整理して、
x=x0-alog((t0-t)/t0)
ただし
t0=(m/c)/v0, a=m/c

お礼

ありがとうございます！
運動方程式を
mdv/dt=-cv^2とおいて解けました
x0+alog(t+t0)/t0となりました

ほんとうにありがとうございました。

回答No.1

spring135

みんな似た問題ですね。
要はニュ-トンの力学の基礎式
F=m(d^2x/dt^2)
を境界条件のもとに解くということです。つまり
上の式を微分方程式とみて初期値問題として解けばよいということです。

(2-1)だけやりましょう。

F=m(d^2x/dt^2)＝b(dx/dt)
v=dx/dtを用いると
m(dv/dt)=bv
変数分離して
dv/v=(b/m)dt
積分して
logv=bt/m+c
v=ce^(bt/m)
初期条件t=0のときv=v0よりc=v0
v=dx/dt=v0e^(bt/m)
積分して
x=(v0m/b)e^(bt/m)+c'
初期条件ｔ＝0のときx=x0=v0m/b+c'
c'=x0-v0m/b
よって
x=(v0m/b)(e^(bt/m)-1)+x0

お礼

ありがとうございます。
なんとか解けそうです。

ただ、速度の２乗に比例する抵抗の微分方程式が解けません。
コツなどはあるでしょうか？