x=[a_0,a_1,・・・a_n,x_n+1]これは正規連分数表示

質問

x=[a_0,a_1,・・・a_n,x_n+1]これは正規連分数表示
a_0,a_1・・・a_nは0以上の整数。x_n+1≧0のとき
x=(x_n+1*(p_n)+p_n-1)/(x_n+1*(q_n)+q_n-1)
(n≧1)を示せ。
どなたかこの問題教えてください。お願いします。
考えたんですがやっぱりわからなくて・・・どなたかお願いいたします。

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

だから, あなたのいう「正規連分数表示」が何を表すのかとか, p_n や q_n がどのように定義されてるかわからないと話にならないんだってば.
「考えた」というなら, 「どう考えた」のか書けませんか?

回答No.1

aquatarku5

x=・・・が成立するようにp_n,q_nが決められればよいことを
数学的帰納法により示す。

n=1のとき、x=(x_n+1*(p_n)+p_n-1)/(x_n+1*(q_n)+q_n-1)
の形式で表現できるかを調べると、
x=[a_0,a_1,x_2]
=a_0+1/(a_1+1/x_2)
=a_0+x_2/(a_1*x_2+1)
=(x_2*(a_0*a_1+1)+a_0)/(x_2*a_1+1)
したがって、p_1=a_0*a_1+1, p_0=a_0, q_1=a_1, q_0=1
とおけばよい。

nのとき、x={x_(n+1)*(p_n)+p_(n-1)}/{x_(n+1)*(q_n)+q_(n-1)}
の形式で表現できるとし、(n+1)のとき同様の形式で表現
できるかを調べると、
x=[a_0,a_1,・・・a_n,a_(n+1),x_(n+2)]
=[a_0,a_1,・・・a_n,x_(n+1)]においてx_(n+1)をa_(n+1)+1/x_(n+2)に置き換えたもの
=[{a_(n+1)+1/x_(n+2)}*(p_n)+p_(n-1)]/[{a_(n+1)+1/x_(n+2)}*(q_n)+q_(n-1)]
=[x_(n+2)*{(p_n)a_(n+1)+p_(n-1)}+(p_n)]/[x_(n+2)*{(q_n)a_(n+1)+q_(n-1)}+(q_n)]
したがって、
分母・分子それぞれの第2項は、p_n,q_nとなることからOK。第1項は、
p_(n+1)=p_n*a_(n+1)+p_(n-1), q_(n+1)=q_n*a_(n+1)+q_(n-1)
を満たしていれば、同様の形式で表現できる。

こんな感じではなかろうかと思いますが・・・