(1+i)^n/(1-i)^n-2をn≧0の整数について計算し，規則性

質問

(1+i)^n/(1-i)^n-2をn≧0の整数について計算し，規則性を述べよ。また，どうしてそうなのかを説明せよ。という問題なのですが,n=0,1,2,3,…と当てはめてみると，-2i，2,2i，-2，-2i，2，…と値が変わっていくので，規則性は公比iの等比数列でよいのでしょうか？まちがっていたら教えてください。
また，その理由が分からないのでどうしてそうなるのか教えてください。

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

等比数列という見方でよいと思います。
　ちなみに、次のように変形すると極座標形式での規則性を見ることができます。

(1+i)^n/(1-i)^(n-2)
=(-2i) i^n
=2{cos(-π/2)+isin(-π/2)} {cos(π/2)+isin(π/2)}^n
=2{cos(-π/2)+isin(-π/2)} {cos(nπ/2)+isin(nπ/2)}
=2[cos{(n-1)π/2}+isin{(n-1)π/2}]

　従って、複素平面上で、(0,-2i)を出発点として原点を中心として反時計回りに90°ずつ回転している　と見ることもできます。

補足

難しいですね。どうしてそうなるのか説明もしなくてはならないのですが，どういう風にしたら良いですか？教えてください。

回答No.3

aquatarku5

No1の者です。

当該等比数列の一般項をA_nとすると、
ANo1にて、A_n=(-2i)・i^nまで導きましたが、
「どうして，そうなのかの説明」とは、「これが
等比数列であることを示す」ことで充足できて
いますでしょうか？

とすれば、
・n>=0の整数に対して、
　A_(n+1)/A_nの値は、(nによらず一定値)i　となる
・A_1=-2i≠0
から、公比iの等比数列である、ということでは
いかがでしょうか・・・

回答No.1

aquatarku5

与式=(1+i)^n/(1-i)^(n-2)
=(1-i)^2・(1+i)^n/(1-i)^n
=(-2i)・{(1+i)/(1-i)}^n
=(-2i)・i^n

初項-2i,公比iの等比数列ですね。

補足

どうして，そうなのかの説明はどうすればよいのでしょうか？教えてください。