スプライン補間

質問

スプライン補間
空間座標において，各点の座標( x(t)，y(t)，z(t) ) ( t：時間 )と速度ベクトル（ u(t)，v(t)，w(t) ）( u，v，w，はそれぞれx，y，z軸方向の速さ )がわかっている時，スプライン補間して各点の間の座標を知りたいのですが，スプライン補間には複数のスプライン関数があるようでどれを用いるのがベストなのかがわかりません．各関数の特徴，使用条件などを教えていただきたいです，

回答No.1

noname#196225 · ベストアンサー

スプライン補間は大まかに、
・各点（各条件）を必ず通過するかどうか？
・何次の曲線を使って補間を行うか？
で大別されます。
次数は３次あたりが普通使われると思います。また、今回では必ず通過する条件を使うとします。

上記条件を満たすスプライン補間は、単純化すると以下の問題の解になります。
「(点,速度,時間)=(x1,u1,t1),(x2,u2,t2)を通る、tに関する３次曲線を求めよ」ｙも同様。
この解をx=f(t)、y=g(t)としたとき、(f(t),g(t))がt1からt2の区間での補間となります。

定式化すれば、a,b,c,dに関する次の４元連立方程式になります。
・f(t)=at^3+bt^2+ct+d→at1^3+bt1^2+ct1+d=x1,at2^3+bt2^2+ct2+d=x2
f'(t)=3at^2+2bt+c→3at1^2+2bt1+c=u1,3at2^2+2bt2+c=u2

余談ですが、速度ベクトルが分からずに各点だけを補間する場合には
「速度が隣接区間で連続する」という条件だけで求めることになります。
この場合、２点区間の関係だけでは曲線を決めることができないため隣接区間の条件も使うことになります。その結果、帰納的にＮ元連立方程式になってしまうのです。
今回の場合は速度が既知のため、隣接区間を使わずに曲線を決定できるため簡単になります。