3次元曲面補間方法を探しています.

質問

3次元データの補間方法のアルゴリズムを探しています.
不均等にサンプリングした3次元データ(x,y,z)を基に曲面補間を行いたいと思っています.
最初に,zを一定の基で基準データ(x,y)を取得し，データを基に係数を算出します.
システムは係数を用いて実際の取得データ(x,y)からzを補間したします.
現在のシステムは多項式で補間しています
しかし，もっとメモリを食わず,精度のよい補間補法がないか探しています.
一応候補として考えたものはスプライン曲面と細分割による処理です.
これらでは,問題点としてサンプリングした範囲を超えた(x,y)データでは補間ができないというものがあります.また，計算時間がかかるという問題点もあります.
これらに限らず,よい方法はありませんでしょうか.

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

２変数関数フィッティング（２変数関数最小二乗法）などはだめですか？

スプライン曲面では個々のサンプリング点を必ず通りますが、誤差の大きいサンプリング点が入るとその近辺での補間誤差も大きく出ます。同じ系統に２次元パデ近似補間法が有ります（有限項数の２次元テーラー展開を多項式分数関数近似した補間法。展開範囲で平均的に補間誤差が少ないのが特徴）。

２変数関数フィッティング法は個々のサンプリング点を必ずしも通らず全体として誤差が少なくなるように補間しますので多少の領域外のデータの補間も可能です。フィッティング関数はデータの分布形に合った２変数関数を選ぶ必要があります。フィッテングにより２変数関数の中の係数パラメータが決定されます。（フリーソフトのgnuplotなど）

いずれも、自身のシステムに合わせて多少の作り込みや試行を行なってよりよい補間関数を求める必要があるかと思います。

お礼

回答ありがとうございます.
スプライン曲面も，サンプル点を強制的に通すと，
振動する可能性があるので制御点を最小二乗法で
求める方法を考えています.
ただ，組み込みシステムであるため計算コストが高いと感じています.

現在は高次2変数多項式を考えて最小二乗法で係数を求めている
方法をとっていますが，なかなか精度が出ないというのが現状です.
当然次数については，実際の取得データを用いて精度の最もよい
次数を選択しています.多項式でも振動の可能性があるのでこのようにしています.
(精度を優先しているため，AICという意味では最適ではありません.)

ご回答にあった２変数関数フィッティングをもう少し詳しくご説明いただけませんか.
２次元パデ近似補間法は全く知らないので，教えてくただ得るうれしいです.
パデ近似自体は聞いたことありましたが，私の読んだ本では
パデ近似係数を求める際に近似する多項式の係数が必要であったので
今回の近似には使えないのではと思っていました.

よろしくお願いいたします.