三角関数の微分について

質問

岩波新書の「数学入門（下）」 遠山啓 著、を読んでいます。
この本の中でわからない所があります。
136ページの三角関数を微分してみよう、という所に以下のような数式が載っていました。

　　sin(x+Δx)　-　sinx　　　　　　AB　　　　AC　　　　　　　AB
　-----------------　　=　　-----　　-----　　=　　-----cosθ
　　　　　　Δx　　　　　　　　　　　Δx　　　　AB　　　　　　　Δx

なぜ、
　　　AB　　　　AC
　　-----　　-----
　　　Δx　　　　AB

というのが出てくるのかがわかりません...。
この質問は図で説明しなければいけないと思うのですが、この場所には図を書けないの
で困っています...。画像をどこかに置いて、アドレスをここに貼り付ければとも思った
のですが、それはルール違反だとのことなので出来ませんでした。

どなたか、御指導を頂けたら幸いに思います。

回答No.2

fushigichan · ベストアンサー

AJIPONさん、こんにちは。
該当の本を持っていないので、ＡＢＣの関係は大体の推測ですが

まず、半径１の単位円を考えます。
角度がθのときの、単位円上の点をＢ(sinθ,cosθ)とします。
ここで、θ→θ+Δθ
としたときの、単位円上の点をＡ(sin(θ+Δθ),cos(θ+Δθ))
とします。
このときの、Ｂ→Ａの、x座標の増加をΔx,
y座標の増加をΔyとします。

Ａからｘ軸に垂線を下ろして、またＢからｙ軸に垂線を下ろしたものとの交点をＣとします。

すると、三角形ＡＢＣにおいて、
ＡＢ＝Δθ
ＢＣ＝Δx
ＡＣ＝Δy
のようになるかと思います。

このとき、求めたいのは、
y=f(x)=sin(x)
とおくと、定義より、
lim{f(x+Δx)-f(x)}/Δx
Δx→0
ですが、

{f(x+Δx)-f(x)}/Δx
={sin(x+Δx)-sin(x)}/Δx
=Δy/Δx
=(Δθ/Δx)*(Δy/Δθ)←分母分子にΔθをかけているだけ
となります。

ここで、先程述べたように、Δθ=AB,Δy=AC
でしたから、
（与式)=(AB/Δx)*(AC/AB)

また、∠BAC＝θなので、AC/AB=cosθ

よって、
（与式)=(AB/Δx)cosθ

となるのではないか、と思います。

また、参考URLの考え方が分かりやすいと思いますので、
ご参考にしてみてください。

参考URL：

http://takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/TeX/latex2html/sinprime/node2.html

お礼

とても丁寧な説明をありがとうございました。
また、教えていただいたホームページも大変わかりやすかったです。
納得することが出来ました。本当にありがとうございました。

回答No.3

DreaMMaster

その図を良く見ると、
sin(x+Δx)-sinx = AC
となっているのはわかりますか？
これがわかれば、あとはABをかけて割っているだけです。

紛らわしいのですが、同書p.136の図では、xは中心の角度であって、横の座標軸ではありません。

お礼

ラジアンで考えるのを忘れていました...。
ありがとうございました。

回答No.1

rei00

図は示せないとの事ですが，お書きのＡ，Ｂ，Ｃ（あるいはＡＢ，ＡＣ）が何を示すのかが解らないので回答が付き難いと思います。

　補足されてはいかがですか？

　なお，図を使って sin(x) の微分を説明しているサイトがありましたので御紹介しておきます。

　　◎ 微分積分いい気分

　sin(x) の微分は「微分 2」の「正弦函数, 余弦函数の微分」に出てきます。

参考URL：

http://phaos.hp.infoseek.co.jp/contents.htm

お礼

お教えいただいたホームページ、参考にさせていただきました。
また、ANo.#2の方が文章で示してくださっているように、「図で示さなくては」と考えた私は努力不足だったみたいで、はずかしいです。
ありがとうございました。