力学的エネルギーの保存について
- 水平な面となす角θの斜面上に置かれた小物体と台はともに動き始める。このとき、力学的エネルギーの合計は保存される。
- 運動方程式を考えると、小物体の加速度と台の加速度が関係していることがわかる。
- しかし、式を整理すると、美しい形にはならない。どこかにミスがあるのかもしれない。
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力学的エネルギーの保存について
高校生です。 よくある問題なんですけど、 「摩擦のない水平面の上に、水平面と角θをなすなめらかな斜面を持つ質量Ｍの台がある。その斜面上に質量ｍの小物体を置くと小物体と台はともに動き始める」 【参考図】 ｙ ↑ ｜ ●←小物体 ｜ ／｜ ｜ ／ ｜ ｜ ／ 台｜ ｜ ∠＿＿＿＿ ｜―――――――――――→ｘ という設定で、その後の運動の様子を聞く問題なんですが。 なんとこの台と小物体とで、力学的エネルギーの合計は保存するそうです！ ということで、それを示してみようと試みたのですが、私の知能の致す限りでは以下の通りになりました。 ↓(以下) 小物体と台との垂直抗力をｎ、台と水平面の垂直効力をＮ、重力加速度をｇ、 運動方程式は、ｘｙ座標をを常識的におき、小物体のｘ方向の加速度をα、ｙ方向の加速度をβ、台のｘ方向の加速度をＡとすると、 ｘ方向：ｍα＝－ｎsinθ …(1) ｙ方向：ｍβ＝－ｍｇ＋ｎcosθ …(2) ｘ方向：ＭＡ＝ｎsinθ …(3) ｙ方向：０＝Ｎ－Ｍｇ－ｎcosθ …(4) (1)＋(3)より ｍα＋ＭＡ＝０ …(5) (2)＋(4)より ｍβ＝Ｎ－ｍｇ－Ｍｇ …(6) 小物体のｘ方向の速度成分をV(x)、ｙ方向の速度成分をV(y)、台のｘ方向の速度成分をＶとすると、 (5)より、 1/2ｍV(x)^2 ＋ 1/2ＭＶ^2 ＝ 一定 …(5)’ (6)より、 1/2ｍV(y)^2 ＋ｍｇｙ＋Ｍｇｙ－Ｎｙ＝一定 …(6)’ (5)’＋(6)’より 1/2ｍｖ^2 ＋ (ｍ＋Ｍ)ｇｙ －Ｎｙ ＝一定 ？ となって、なんか美しく決まりません。 どこか間違っていますか？懇切丁寧に教えていただければ幸いです。
- un5931
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運動方程式からしっかり求めようという姿勢に好感がもてます。 導出された運動方程式は，正確で立派なものです。 通常未知数は，α，β，Ａ，ｎ，Ｎの５つになりますから，(1)～(4)の４つの連立方程式では解けません。未知数と同じ数の方程式がなければなりませんね？ 足りない関係は「拘束条件」と呼ばれるもので，小物体が斜面を離れずに運動するという運動の拘束関係を式にしなければならないのです。それは，この問題の場合次のようになります。 tanθ = -β/(A - α) = -V(y)/(V - V(x)) = -y/(X - x) ・・・(7) ※ただし，小物体の出発点を原点とし，水平右方向にx軸，鉛直上方にy軸をとり，小物体および斜面台の位置座標を(x,y)，(X,0)，速度を(V(x),V(y))，(V,0)としました。 なお，(4)はＮを求める役目しかありませんから，ここでは除外して考えます。 (1)～(3)および(7)の４つの方程式から，α，β，Ａ，ｎが導出されます。 (1)+(3)=(5)の流れはさすがです。これは，ただちに mV(x) + MV = 0 ・・・(8) を与えます。この関係は，運動量保存則と呼ばれ，物理IIで学習します。 運動方程式からエネルギー保存（エネルギー原理）を導出されようとしている努力に敬服します。しかし，残念ながらうまくいっていないようです。 (1)～(3)から得られるエネルギー原理（運動エネルギー変化＝された仕事）の式は， 1/2・mV(x)^2 = -n sinθ・x ・・・(9) 1/2・mV(y)^2 = -mgy + n cosθ・y・・・(10) 1/2・MV^2 = n sinθ・X ・・・(11) となります。これらを辺々加えて，(7)の関係を用いると 1/2・m(V(x)^2 + V(y)^2) + 1/2・MV^2 + mgy = 0 ・・・(12) を得ます。この式は平凡な高校生は，運動方程式との関係は見ずに，ただちに立てるのです。それを運動方程式にこだわってそこから導出されようとする姿勢は立派ですが，やや困難な計算をすることになり，その結果が(9)～(11)なのです。垂直抗力nは，小物体と斜面がエネルギー（仕事）のやりとりに用いている力ですが，小物体が斜面に与えたエネルギーの分，小物体はエネルギーを減らしていることが明らかなので，垂直抗力がする仕事は小物体＋斜面という全体ではプラスマイナスゼロになるので，初めから考えなくてよいのです。 物理IIのレベルでは，V，V(x)，V(y)を未知数として(7)(8)(12)の3式をいきなり立てて，解くことになります。
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お礼
回答して下さって、ありがとうございます！ 問題集の答えを見ても、いきなり(12)の式で答え始めていて、本当に困っていました… 回答者様の助言通りに、もう一度自分でやってみたら、ちゃんと(12)のエネルギー保存の式が得られて感動しました。 今回は本当にありがとうございました！物凄く助かりました！