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斜面と斜面を滑り降りる物体の運動

前に質問されたことのあるとおもう問題ですが、検索ワードが思いつかなかったので、質問します。 床、斜面の摩擦は無視できる。 水平な床の上に質量M、傾きθ、の三角台Qの上に 質量mの小物体Pをのせる。 水平方向にx軸、鉛直方向にy軸をとり、重力加速度をgとする。 運動方程式 小物体のx、y軸方向の加速度=a、b 三角台のx、y軸方向の加速度=A、B PとQの抗力=N、床とQの抗力=S として ma=-Nsinθ mb=Ncosθ-mg MA=Nsinθ MB=S-Mg-Ncosθ B=0 b=(a-A)tanθ 最後の式ですが、これを出すのにベクトルを使って、 Pの変位を(Δx、Δy)、Qの変位をΔXとして Δy=(ΔX-Δx)tanθ・・・☆ 二回tで微分して b=(a-A)tanθ とやるらしいのですが、☆の式が立てられないのですが説明していただけますか? もうふたつ 1、PがL滑り降りたときのQの変位を求める問題。 2、そのときのPとQの運動エネルギーの和を求める問題。 がありまして、1、はまったくわかりません。 2、求めるエネルギーの式は Pの各軸方向の速度をVx、Vy 同様にQの速度をVX、VY (1/2)m(Vx^2 +Vy^2) +(1/2)M(VX^2 +VY^2)=・・・ となるのですが これを出すのに最初の運動方程式をつかって a=dVx/dt、b=dVy/dt、A=dVX/dt、B=dVY/dt なので mVx(dVx/dt)=-Nsinθ・Vx mdVy(Vy/dt)=(Ncosθ-mg)Vy MVX(dVX/dt)=Nsinθ・VX MVY(dVY/dt)=(S-Mg-Ncosθ)VY また Vysinθ=(Vx-VY)cosθ なのでこれらから d/dt{(1/2)m(Vx^2 +Vy^2) +(1/2)M(VX^2 +VY^2)} となるらしいですがこの式のつくり方がわからないんです。 そしてそれから先どうするかわかりません。 長々となりましたがよろしくお願いします。

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>Δy=(ΔX-Δx)tanθ・・・☆ >二回tで微分して >b=(a-A)tanθ 2つの式は矛盾してませんか. x軸,y軸の正の向きはそれぞれ右向き,上向きでいいのでしょうか. 斜面が右上がり(左端が尖っている)なら Δy=(Δx-ΔX)tanθ・・・(*) b=(a-A)tanθ もしその逆なら右辺が逆符号です. Δy=(Δx-ΔX)tan(-θ)=-(Δx-ΔX)tanθ b=-(a-A)tanθ いずれも,台に対する小物体の相対変位 Δx-ΔX(x方向) と Δy-0=Δy(y方向) との間に,「台からみて小物体は斜面方向にのみ動ける(今の状況では,浮き上がったりめり込んだりはしない)」  という条件を幾何学的に書けば出ます. 残りの問題はこれらの式を全て解けば出ますが,解かなくても出ます. [別解] >1、PがL滑り降りたときのQの変位を求める問題。 1,は式(*)と Δx-ΔX=-L・・・(A) (台に対し左にLだけ変位) (または傾きが逆なら逆符号) から y方向の変位はΔy=-Ltanθ つまり,下向きにLtanθ 一方,重心の定義 (m+M)X_G=mx+MX より (m+M)ΔX_G=mΔx+MΔX かつ,水平方向には外力が働かないので,重心は静止したままで,ΔX_G=0 よって mΔx+MΔX=0・・・(B) (重心からの距離が質量の逆比) (A),(B)より x方向の変位:Δx=-ML/(M+m) つまり斜面が右上がりなら 左向きにML/(M+m) >2、そのときのPとQの運動エネルギーの和を求める問題。 力学的エネルギー保存が成立するので, 和は mgLtanθ >d/dt{(1/2)m(Vx^2 +Vy^2) +(1/2)M(VX^2 +VY^2)} 左辺を実際微分すれば d/dt(1/2)mVx^2=(1/2)md/dtVx^2=(1/2)m・2Vx・dVx/dt=mVx・dVx/dtから言えます.

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