抵抗力のある放物運動

質問

わからない問題があります、解法を教えてください。

地面から高さｈの所から質量ｍの物体を水平方向に速度Voで投げた。物体は速度Vに比例する抵抗力-mγv(γ＞０)を受ける。

(1)水平方向をｘ方向、鉛直方向をｙ軸の正方向として、物体の速度ベクトル(Vx,Vy)を投げてからの時間ｔの関数として求める。

(2)十分時間がたったときの物体の速度ベクトル(Vx,Vy)を求める。

答えは(1)[Voe^(-γt),g(e^(γt)-1)/γ]

(2)[0,-g/γ]です。
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一応解いてみたがいつlogが使われているのかわかりません

m* dVx/dt = -mγVx・・・水平方向

m* dVy/dt = -mg*mγVy・・・鉛直方向

とおきました。

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そして（２）のｘはどうして０なのですか？

ｔを無限大までリミットを取るとe^(-γt)＝０になるからですか？

わかりずらくてすみません。

回答No.2

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

鉛直方向の式で、１箇所、－が＊になっちゃってますね。

さて、本題。

（１）

ｄＶx／ｄｔ　＝　－γＶx　　　・・・（あ）
ｄＶy／ｄｔ　＝　－γＶy　－　ｇ　　　・・・（い）

（あ）は、
ｄＶx／Ｖx　＝　－γｄｔ
∫１／Ｖx・ｄＶx　＝　－γ∫１・ｄｔ
左辺は積分すると、log になります。

（い）は、まず、事前準備。
ａ　＝　－γＶy　－　ｇ
と置けば、
ｄａ／ｄｔ　＝　－γ・ｄＶy／ｄｔ
ｄＶy／ｄｔ　＝　－１／γ・ｄａ／ｄｔ

（い）は、
－１／γ・ｄａ／ｄｔ　＝　ａ
ｄａ／ａ　＝　－γ・ｄｔ
∫ｄａ／ａ　＝　－γ∫ｄｔ
これまた、左辺が log になります。
後で、
ａ　＝　－γＶy　－　ｇ
を代入してａを消去すればできあがり。

（２）
実は、これ、計算が非常に簡単で、あっという間に答えが出るんです。
十分時間が経つと、ＶxもＶyも一定になります。
これを「定常状態」と呼びます。
ＶxもＶyも一定になるということは、
ｄＶx／ｄｔ　＝　０
ｄＶy／ｄｔ　＝　０
ということです。

つまり、定常状態における（あ）（い）は、
０　＝　－γＶx
０　＝　－γＶy　－　ｇ
となります。

なお、
私は計算間違いや書き間違いをすることがあるので、上記は検証してください。

お礼

くわしい解説ありがとうございます。

もう一回自分で解いてみます。

回答No.1

yokkun831

（１）　m* dVx/dt = -mγVx　から　dVx/Vx = -γdt
　　　積分して，　log(Vx/V0) = -γt　など
（２）　おおせの通り

お礼

いつlogが使われているのかわかりました。

ありがとうございました。