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抵抗力のある放物運動

わからない問題があります、解法を教えてください。 地面から高さhの所から質量mの物体を水平方向に速度Voで投げた。物体は速度Vに比例する抵抗力-mγv(γ>0)を受ける。 (1)水平方向をx方向、鉛直方向をy軸の正方向として、物体の速度ベクトル(Vx,Vy)を投げてからの時間tの関数として求める。 (2)十分時間がたったときの物体の速度ベクトル(Vx,Vy)を求める。 答えは(1)[Voe^(-γt),g(e^(γt)-1)/γ] (2)[0,-g/γ]です。 ------------------------------------------------------- 一応解いてみたがいつlogが使われているのかわかりません m* dVx/dt = -mγVx・・・水平方向 m* dVy/dt = -mg*mγVy・・・鉛直方向 とおきました。 ------------------------------------------------------- そして(2)のxはどうして0なのですか? tを無限大までリミットを取るとe^(-γt)=0になるからですか? わかりずらくてすみません。

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  • sanori
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こんばんは。 鉛直方向の式で、1箇所、-が*になっちゃってますね。 さて、本題。 (1) dVx/dt = -γVx   ・・・(あ) dVy/dt = -γVy - g   ・・・(い) (あ)は、 dVx/Vx = -γdt ∫1/Vx・dVx = -γ∫1・dt 左辺は積分すると、log になります。 (い)は、まず、事前準備。 a = -γVy - g と置けば、 da/dt = -γ・dVy/dt dVy/dt = -1/γ・da/dt (い)は、 -1/γ・da/dt = a da/a = -γ・dt ∫da/a = -γ∫dt これまた、左辺が log になります。 後で、 a = -γVy - g を代入してaを消去すればできあがり。 (2) 実は、これ、計算が非常に簡単で、あっという間に答えが出るんです。 十分時間が経つと、VxもVyも一定になります。 これを「定常状態」と呼びます。 VxもVyも一定になるということは、 dVx/dt = 0 dVy/dt = 0 ということです。 つまり、定常状態における(あ)(い)は、 0 = -γVx 0 = -γVy - g となります。 なお、 私は計算間違いや書き間違いをすることがあるので、上記は検証してください。

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質問者からのお礼

くわしい解説ありがとうございます。 もう一回自分で解いてみます。

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(1) m* dVx/dt = -mγVx から dVx/Vx = -γdt    積分して, log(Vx/V0) = -γt など (2) おおせの通り

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質問者からのお礼

いつlogが使われているのかわかりました。 ありがとうございました。

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