さいころを使用した問題（リスク中立値について）教えてください。大学の課

質問

さいころを使用した問題（リスク中立値について）教えてください。大学の課題なのですが考え方がよくわからずに困っています。。

（問題）さいころを使用し、最初の6がでるまで続くゲームがあるとします。6がk回目にでたときに6a^(k-1)ドルもらえるとします。
(a) このゲームが無限リスク中立値をもつa>0をみつけよ
(b) a=1.1のときのリスク中立値を求めよ
(c) a=1.2のときの、このゲームのlog効用値を求めよ
（rの絶対値が1以下なら、Sum(k=1から無限）kr^(k-1)=(1-r)^-2 という推定を使う）

どなたか、お分かりになる方がいらっしゃいましたら教えて頂きたく、どうぞよろしくお願いいたします。

回答No.3

Ginzang

>これが有限の期待値を持つときは、どの計算でできますでしょうか。
Eが有限値をもつ（発散しない）条件を求めればよい。
質問者の仰る幾何級数が収束する条件は |5a/6| < 1 であり、これと a > 0 より、解答は 0 < a < 1.2。

>そもそも、さいころをk回振って最初の6が出る確率は(1/6)*(5/6)^(k-1)で合っていますでしょうか・・
合っているので、安心して頂きたい。

log効用値については、私にもこれ以上は分かりかねる・・・。
申し訳ない。

補足

Ginzangさま

お返事遅くなりまして大変失礼いたしました。回答くださって、大変参考になりました。とても助かりました、ありがとうございました。自分でもやってみたところ、解決いたしました。お忙しい所、考えてくださって感謝しております。

回答No.2

Ginzang

「リスク中立値」とは、「期待値」と同じものなのだろうか？
それなら、(a)、(b)は、多分これで題意に沿うであろう解答が得られた。

(a)質問者の仰る幾何級数を計算すれば、
E = Sum [(1/6)*(5/6)^(k-1)*6*a^(k-1)]
= Sum (5a/6)^(k-1)
= 6 / ( 6-5a )
であるので、これは a → 1.2 のとき∞に発散する。
「無限リスク中立値をもつ」とは、「期待値が無限大である（よって、掛け金がいくらであってもゲームに参加する価値がある）」という意味だろうから、解答は a > 1.2 。
(b)a = 1.1 のとき、E = 12。これが解答になる。

これでよかったのだろうか？
また、(c)は、「log効用値」が分からないのだが・・・。

補足

Ginzangさま
ありがとうございます、とても助かります。
はい、リスク中立値=期待値と同じものだと思います。
（海外の大学でやっているため日本語の適切な訳ができないのですが、そうだと思います）
そして、これが有限の期待値を持つときは、どの計算でできますでしょうか。（質問が「有限」の期待値を持つa>0を求めよと言うものなのです）
ですが大変参考になりました。

log効用値は、わかりずらくて申し訳ありません。E(logX)を求めるということだと思いますが、どう計算すればできますでしょうか。

そもそも、さいころをk回振って最初の6が出る確率は(1/6)*(5/6)^(k-1)で合っていますでしょうか・・

回答No.1

Ginzang

ちょっと遅くなったのだが・・・。

初耳の用語である「リスク中立値」の定義が分からないので、答えられないのである。
大学でどのように説明されたのか、お教え頂きたい。

補足

Ginzangさま

見て頂いて、本当にありがとうございます。質問の書き方がまずかったです、申し訳ありません。
正確には「このゲームが有限のリスク中立値をもつa>0を見つけよ」というもので、
大学ではセントペテルスブルグのパラドックスを例として賭け金がいくらならゲームに参加するか、
という例をもとに、その金額をリスク中立値と説明していました。

いま出来ている段階では、確率を(1/6)*(5/6)^(k-1)、として、期待値E(x)を
E(X)=Sum[(1/6)*(5/6)^(k-1)*6*a^k-1]とし、ここから幾何数列の計算をすれば良いかと考えて
いるのですが、それでa>0となる値が見つかるかよくわかりません。。

さらにこのケースで、a=1.1のときのリスク中立値、a=1.2のときのログ効用値を求めたいのですが
まだそこまで行くことができません。

教えて頂ける箇所がありましたら、大変助かります。
どうぞよろしくお願いいたします。